9. Giochi del 6 settembre 2021 – Geometria e Sangaku

11 risposte

1. Buongiorno, per il problema 2) mi manca solo la dimostrazione del fatto che i due segmenti che congiungono il centro del cerchio piccolo con ognuno dei centri dei due semicerchi siano perpendicolari ai due segmenti “rossi”. Questa dimostrazione forse è semplice ed evidente, ma non è neanche accennata…

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2. Problema 1. Secondo me 5/8
   Problema 2.direi raggio cerchio 1 e raggio semicerchio 2.
   Problema 3.area quadrato 29,86 circa

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   1. A più tardi per le soluzioni

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3. 1.
   Ipotizzo che l’apotema a dell’esagono minore sia pari all’incremento di ogni esagono successivo
   L’area del k-mo esagono è proporzionale a (ka)^2
   Quindi [(4-1)+(16-9)]a^2=10a^2 è il fattore dell’area ombreggiata
   mentre 16a^2 è quello dell’area dell’esagono massimo
   La frazione cercata è 10/16=5/8
   2.
   Detto r il raggio del semicerchio minore
   6-r è la lunghezza del cateto tra il suo centro e il centro del quarto di cerchio
   3 è la lunghezza dell’altro cateto,
   raggio del quarto di cerchio
   3+r la lunghezza dell’ipotenusa tra i centri dei semicerchi
   Quindi per il teorema di Pitagora
   (6-r)^2+9=(3+r)^2
   36-12r+r^2+9=9+6r+r^2
   36=18r
   r=2
   Il raggio del cerchio piccolo è quindi 3-2=1
   3.
   Il lato del quadrato è
   2+cateto orizzontale
   cat.or.=sqrt[(2+2)^2-2^2]=2sqrt3
   L’area del quadrato è 4(1+sqrt3)^2=29,86 circa

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   1. Perfetto, ottima l’ipotesi sull’incremento dell’apotema per la soluzione del problema 1.

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4. Foto 3

   

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   1. Bene. A domani per le soluzioni argomentate.

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5. Foto 2

   

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6. 1) Nel problema 1 possiamo realizzare uno schema come quello che ho realizzato qui sotto e così possiamo contare che in 1/5 di esagono abbiamo 10 triangolini rossi e 6 bianchi. Per sapere i triangolini rossi di tutto l’esagono grande moltiplichiamo tutto per 5 quindi (10/16)= 50/80 che ridotto viene 5/8.
   2) Possiamo notare, come nell’immagine qui sotto allegata, che il raggio del cerchio più grande (z) è uguale alla somma del raggio degli altri due cerchi (x+y=z). Ma se provassimo a mettere come in figura qui sotto un cerchio piccolo nel semicerchio medio possiamo vedere che il diametro del cerchio piccolo corrisponde perfettamente al raggio del cerchio medio quindi 2y=x. Infine possiamo dire che il raggio del cerchio esterno (quello più grande) è uguale a (x+y)*2=6 x=2y (2y+y)*2=6 4y+2y=6 6y=6 y=1
   Se y=1 x+y=3 3-y=x 3-1=2 x=2
   3) Come si può vedere nell’immagine qui sotto abbiamo creato un triangolo rettangolo di cui sappiamo ipotenusa e cateto minore (ipotenusa=2r= 4 cateto minore=r=2) con il teorema di Pitagora ci calcoliamo il cateto maggiore e vediamo che è la radice di 12 ossia 3,46. Per sapere il lato sommiamo 3,46+2 =5,46 cm. Quindi l’area del quadrato è 5,46 al quadrato cioè 29,8cm.

   

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7. Ottimo. Complimenti anche per l’inserimento di foto e immagini che funziona perfettamente. Volendo essere precisi … sul problema 1, la misura del raggio del quarto di cerchio è 6.

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8. Mostro la mia proposta nel file allegato.

   

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