9. Giochi del 6 settembre 2021 – Geometria e Sangaku

9. I giochi del lunedì di Prisma 6 settembre 2021 a cura di Fabio Ciuffoli

Proponiamo tre problemi geometrici, prendendo spunto dai sangaku e invitiamo i lettori a presentarci osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai commenti, dove è possibile inserire anche immagini e fotografie. Alle ore 17.00 di domani pubblicheremo le soluzioni.

 Geometria e Sangaku

I Sangaku sono problemi aritmetico-geometrici, incisi su tavolette di legno esposte nei templi giapponesi, con funzioni didattiche e meditative.

1. Quattro esagoni regolari concentrici sono equidistanti dal punto centrale, ovvero le distanze, a partire dal centro, tra il primo e il secondo esagono, tra il secondo e il terzo e tra il terzo e il quarto, sono uguali. Quale  frazione dell’area dell’esagono più grande è ombreggiata?

 

2. All’interno del quarto di cerchio di raggio 6, ci sono due semicerchi e un cerchio, ciascuno tangente agli altri. Quanto misurano i raggi del cerchio nero e del semicerchio nero più piccolo?

 

3. Quattro semicerchi con raggio 2 sono costruiti nel quadrato rosso sottostante. Qual è l’area del quadrato?

Aggiornamento per le soluzioni click qui 


I problemi di oggi sono rielaborazioni tratte da Geometry snack di E. Southall e V. Pantaleoni.

 

 

11 risposte

  1. Buongiorno, per il problema 2) mi manca solo la dimostrazione del fatto che i due segmenti che congiungono il centro del cerchio piccolo con ognuno dei centri dei due semicerchi siano perpendicolari ai due segmenti “rossi”. Questa dimostrazione forse è semplice ed evidente, ma non è neanche accennata…

  2. Problema 1. Secondo me 5/8
    Problema 2.direi raggio cerchio 1 e raggio semicerchio 2.
    Problema 3.area quadrato 29,86 circa

  3. 1.
    Ipotizzo che l’apotema a dell’esagono minore sia pari all’incremento di ogni esagono successivo
    L’area del k-mo esagono è proporzionale a (ka)^2
    Quindi [(4-1)+(16-9)]a^2=10a^2 è il fattore dell’area ombreggiata
    mentre 16a^2 è quello dell’area dell’esagono massimo
    La frazione cercata è 10/16=5/8
    2.
    Detto r il raggio del semicerchio minore
    6-r è la lunghezza del cateto tra il suo centro e il centro del quarto di cerchio
    3 è la lunghezza dell’altro cateto,
    raggio del quarto di cerchio
    3+r la lunghezza dell’ipotenusa tra i centri dei semicerchi
    Quindi per il teorema di Pitagora
    (6-r)^2+9=(3+r)^2
    36-12r+r^2+9=9+6r+r^2
    36=18r
    r=2
    Il raggio del cerchio piccolo è quindi 3-2=1
    3.
    Il lato del quadrato è
    2+cateto orizzontale
    cat.or.=sqrt[(2+2)^2-2^2]=2sqrt3
    L’area del quadrato è 4(1+sqrt3)^2=29,86 circa

  4. 1) Nel problema 1 possiamo realizzare uno schema come quello che ho realizzato qui sotto e così possiamo contare che in 1/5 di esagono abbiamo 10 triangolini rossi e 6 bianchi. Per sapere i triangolini rossi di tutto l’esagono grande moltiplichiamo tutto per 5 quindi (10/16)= 50/80 che ridotto viene 5/8.
    2) Possiamo notare, come nell’immagine qui sotto allegata, che il raggio del cerchio più grande (z) è uguale alla somma del raggio degli altri due cerchi (x+y=z). Ma se provassimo a mettere come in figura qui sotto un cerchio piccolo nel semicerchio medio possiamo vedere che il diametro del cerchio piccolo corrisponde perfettamente al raggio del cerchio medio quindi 2y=x. Infine possiamo dire che il raggio del cerchio esterno (quello più grande) è uguale a (x+y)*2=6 x=2y (2y+y)*2=6 4y+2y=6 6y=6 y=1
    Se y=1 x+y=3 3-y=x 3-1=2 x=2
    3) Come si può vedere nell’immagine qui sotto abbiamo creato un triangolo rettangolo di cui sappiamo ipotenusa e cateto minore (ipotenusa=2r= 4 cateto minore=r=2) con il teorema di Pitagora ci calcoliamo il cateto maggiore e vediamo che è la radice di 12 ossia 3,46. Per sapere il lato sommiamo 3,46+2 =5,46 cm. Quindi l’area del quadrato è 5,46 al quadrato cioè 29,8cm.

  5. Ottimo. Complimenti anche per l’inserimento di foto e immagini che funziona perfettamente. Volendo essere precisi … sul problema 1, la misura del raggio del quarto di cerchio è 6.

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