124. Soluzione del 3 giugno 2024 – Un ingegnoso artigiano giapponese

Soluzioni del 3 giugno 2024 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato due problemi proposti dal creatore di giochi matematici giapponese Tadao Kitazawa e di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione. 

Un ingegnoso artigiano giapponese – soluzioni 

1. Un artigiano ha una lastra di metallo quadrata 20 x 20 dalla quale desidera ritagliare un piatto circolare più grande possibile. L’ingegnoso artigiano prima ritaglia un triangolo rettangolo isoscele da ciascun angolo della lastra quadrata e poi lo salda al centro dei lati del quadrato, come illustrato in figura. In questo modo può ottenere un piatto circolare di formato più grande. Quanto misura il raggio di questo piatto circolare?

1. SOLUZIONE. In figura viene mostrato lo sviluppo di un quarto di cerchio del piatto circolare di raggio r > 10 dove O è il centro del quadrato, A il suo angolo nord-est e Q il punto medio del suo lato est. La nuova circonferenza taglia OA in B e AQ in P, inoltre ABC e PQR sono due triangoli rettangoli isosceli e sono congruenti. Con Pitagora OA è uguale a 10√2, inoltre OB è il raggio r, per cui AB = 10√2 – r. Applicando Pitagora possiamo calcolare PQ, infatti OP = r e OQ = 10, quindi PQ = √(r2 – 102). Ponendo AB = PQ quindi 10√2 – r = √(r2 – 102)  ed elevando al quadrato avremo 200 + r2 – 20√(2)r  = r2 – 100  svolgendo 20√(2)r = 300 da cui r = 15/√2 = 10,6  un valore leggermente maggiore di 10. 

2. Su un pezzo di carta viene disegnato un cerchio. L’artigiano ha un righello per effettuare misurazioni precise. Il righello non può entrare all’interno del cerchio, ma può essere utilizzato per tracciare le tangenti ad esso. È possibile determinare il raggio del cerchio?

2. SOLUZIONE. Da un punto P esterno si tracciano due tangenti al cerchio che lo toccano rispettivamente in A e in B.

Si individua C su PA e D su PB in modo che PC = PD. Si misura CD poi si calcola il punto medio M. Si disegna PN, si misura PM e si misura PN. Ora i triangoli POA e PCM sono simili, dove O è l’inaccessibile centro del cerchio. Avremo PO/PA = PC/PM da cui PO = (PA • PC)/PM. Il raggio del cerchio NO = PO – PN. Infine NO = [(PA • PC)/PM] – PN. Ingegnoso, vero!  Un’altra soluzione, molto elegante, proposta da  Giuseppe Biolatti prevede l’utilizzo della formula di Erone: “Traccio tre tangenti in modo da disegnare un triangolo circoscritto al cerchio. Misuro i lati del triangolo e calcolo l’area con la formula di Erone. Ora,  conoscendo l’area del triangolo, posso calcolare il raggio del cerchio inscritto con la formula (Area del Triangolo) / (Semiperimetro del Triangolo).”.

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

Dimensione massima del file: 50MB Formati consentiti: jpg, gif, png Drop file here

In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.

Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it

Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.

Altri giochi