152. Soluzioni del 30 giugno 2025 – I mietitori di Tolstoj
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I Giochi del Lunedì di Prisma del 30 giugno 2025 a cura di Fabio Ciuffoli
Lev Tolstoj (1828 – 1910) è stato un grande letterato e filosofo russo autore di celeberrimi romanzi (Guerra e Pace, Anna Karenina)e numerosi saggi (La confessione, Che fare?). Ha narrato la storia dalla parte degli ultimi e degli emarginati ed è stato un punto riferimento del pensiero anarchico-cristiano. Tolstoj vedeva nel lavoro manuale, in particolare nella mietitura, un’attività che univa le persone, le metteva in contatto con la natura e permetteva loro di vivere in armonia con il mondo, in contrasto con la superficialità e la corruzione della società urbana.Nella sua vita, tormentata e intensa, ha fondato anche una scuola per figli di contadini e operai, sviluppando un suo originale pensiero pedagogico (egualitarismo, non violenza, vegetarianesimo) che ha ispirato perfino il Mahatma Ghandi. Oggi presentiamo due problemi attribuiti a Tolstoj. Il primo per ragazzi di 7 anni e il secondo, sui mietitori, destinato a adolescenti e adulti. Completano la puntata di oggi altri due problemi, a sfondo rurale, che hanno fatto parte di prove di matematica per studenti dei nostri giorni. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio dei commenti. Domani alle ore 17 pubblicheremo le soluzioni.
I mietitori di Tolstoj
1. Il cappello. Uno sconosciuto entra in un negozio e compra un cappello dal prezzo di € 10 pagando con una banconota da € 50. Il venditore non ha il resto e perciò va al negozio di fiori accanto a cambiare la banconota. La fioraia gli dà due banconote da € 20 e una da € 10. Il venditore torna al suo negozio e dà al suo cliente il cappello e € 40 di resto. Un’ora dopo la fioraia entra e dice che la banconota da € 50 è falsa, quindi il venditore di cappelli le dà € 50 dal suo registratore di cassa. Quanto ha perso il proprietario del negozio di cappelli?
2. I mietitori. Questo problema era uno dei preferiti da Lev Tolstoj che lo illustrava con il seguente disegno. Ad una squadra di mietitori venne assegnato l’incarico di mietere due campi di grano, uno dei quali aveva superficie doppia dell’altro. La squadra si dedicò al campo più grande per mezza giornata poi si divisero a metà e nell’altra mezza giornata le due sotto-squadre lavorarono su entrambi i campi. A fine giornata il campo grande era stato mietuto completamente, mentre del campo più piccolo rimaneva ancora un pezzetto, che un mietitore terminò lavorando da solo per tutto il giorno successivo. Supponendo che i mietitori lavorassero alla stessa velocità, sapreste determinare da quanti mietitori era composta la squadra?
3. Due aiuole. Il signor Bianchi ha un campo dove coltiva pomodori e fragole in due aiuole rettangolari accostate come illustrato in figura. Quest’anno ha allungato di 3 metri uno dei lati dell’aiuola dei pomodori in modo che l’aiuola diventasse quadrata. In questo modo l’aiuola delle fragole è diminuita di 15 m2. Prima di questa variazione, quanti metri quadrati misurava l’area dell’aiuola dei pomodori?
4. Mele verdi e rosse. Un melo dà solo mele verdi e un altro melo dà solo mele rosse. I contadini colsero tutti i i frutti di entrambi gli alberi e si accorsero che c’erano 5 mele rosse ogni 4 mele verdi. Ne mangiarono in totale 16 rosse e 16 verdi. Quando contarono le mele rimaste videro che ce n’erano 3 rosse ogni 2 verdi. Quante mele di ciascun colore c’erano all’inizio?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
Nell’immagine in evidenza – I mietitori di Grigorij Mjasoedov, 1887.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
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19 risposte
Detto L il lato corto del rettangolo, ed H quello lungo, la situazione iniziale e’ quella in cui l’aiuola di pomodori misura L x (L-3) (di modo che allungando il secondo lato di 3 metri essa diventi quadrata).��Di conseguenza, l’aiuola di fragole ha un’area pari ad L x (H-L+3m).
In seguito alla modifica delle dimensioni relative a parità di lati complessivi dell’aiuola L ed H, l’aiuola di fragole diventa di area L x (H-L), la cui variazione e’ 3m x L.��Poiche’ 3m x L = 15 m2 => L = 5 m, l’aiuola di pomodori prima della variazione misurava 5 x (5-3) m2 = 10 m2.
Mele rosse e mele verdi (vedi allegato)
I mietitori. Detta x la frazione del primo campo, mietuta dall’intera squadra in mezza giornata, nell’altra mezza giornata meta’ della squadra mietera’ x/2. Quindi x + x /2 = 3x/2 rappresenta l’area del campo grande, da cui x = 2/3. Tutta la squadra miete 2/3 quel campo in mezza giornata, meta’ squadra miete la meta’ di questa, 1/3, nell’altra mezza giornata.
In corrispondenza, l’altra meta’ della squadra mietera’ 1/3 del campo piccolo in mezza giornata, per cui di esso rimarra’ 1/2 – 1/3 = 1/6 da mietere.
Se un singolo operaio miete 1/6 in un’itera giornata e quindi 1/12 in mezza giornata, poiche’ meta’ degli operai mietono un’area pari ad 1/3, meta’ della squadra e’ composta da (1/3) : (1/12) = 4 operai.
L’intera squadra e’ composta dunque da 8 mietitori.
P4. Mele verdi e rosse
Il rapporto tra mele rosse (R) e mele verdi (V) è di 5 a 4. Possiamo esprimere questa relazione usando un’incognita, chiamiamola T, per cui il numero di mele Rosse è R=5T e il numero di mele Verdi è V=4T. Poi vengono mangiate 16 mele di ogni colore e rimangono così (5T-16) mele Rosse e (4T-16) mele Verdi. Il nuovo rapporto tra le mele Rosse e Verdi rimaste è di 3 a 2. Possiamo quindi scrivere l’equazione: (5T−16)/(4T−16)=3/2 che si risolve subito moltiplicando in croce 2⋅(5T−16)=3⋅(4T−16) da cui 10T−32=12T−48 e 48−32=12T−10T da cui 16=2T poi T=8.
Conoscendo il valore di T, troviamo il numero iniziale di mele di ciascun colore: 5T=5⋅8=40 sono mele Rosse e 4T=4⋅8=32 sono mele Verdi. Quindi all’inizio c’erano 40 mele rosse e 32 mele verdi.
Ottimo Sergio, nel pomeriggio tt le soluzioni con un disegno, che pare abbia utilizzato Tolstoj, per la spiegazione del problema dei mietitori.
P3. Due aiuole
L’aiuola dei pomodori è allungata di 3 metri. Questa striscia di terra viene presa dall’aiuola delle fragole. Sappiamo che l’area di questa striscia (cioè l’area persa dalle fragole) è di 15 m². L’area di un rettangolo è base × altezza. In questo caso, l’altezza della striscia è 3 m, quindi possiamo trovare la base (che è il lato comune a entrambe le aiuole): Base × 3 m = 15 m²
Ovvero Base = 15 / 3 = 5 m. Quindi, sappiamo che il lato lungo del campo è di 5 metri.
Il problema dice che allungando di 3 metri il lato corto dell’aiuola dei pomodori, questa è diventata un quadrato. Se il nuovo lato misura 5 metri (per essere un quadrato con l’altro lato), significa che il lato corto originale era di 5 m – 3 m = 2 metri. Le dimensioni originali dell’aiuola dei pomodori erano quindi 5 m e 2 m e Area dei pomodori misurava 5 m × 2 m = 10 m².
P2. I mietitori (facendola lunga)
Sia N il numero di mietitori.
Diciamo mg (mietitore x giornata) come il lavoro svolto da 1 mietitore in 1 giorno intero.
Distinguiamo il lavoro svolto sul campo piccolo (1) e quello svolto su quello grande (2) così:
1) Nel pomeriggio del primo giorno, mezza squadra (N/2) lavora per mezza giornata quindi il lavoro svolto è stato di (N/2)⋅(1/2 giornata) = N/4 mg. Il secondo giorno, 1 mietitore lavora per una giornata intera e dunque il lavoro svolto è stato di 1⋅1 giornata = 1 mg. Ne ricaviamo che il lavoro totale svolto per il campo piccolo è la somma dei due: L1=N/4+1 mg.
2) Nella mattina del primo giorno, tutta la squadra (N) lavora per mezza giornata perciò il lavoro svolto è stato di N⋅(1/2 giornata) = N/2 mg. Nel pomeriggio, l’altra metà della squadra (N/2) ha lavorato per mezza giornata e il lavoro svolto e stato di (N/2)⋅(1/2 giornata) = N/4 mg. Il lavoro totale per il campo grande è la somma dei due: L2=(N/2)+(N/4) = 3N/4 mg.
Poiché il campo grande (2) ha una superficie doppia di quello piccolo (1), il lavoro necessario al campo grande è doppio di quello per il campo piccolo, ovvero L2=2⋅L1. Sostituendo le espressioni precedenti abbiamo l’equazione: 3N/4=2⋅(N/4+1)=2⋅(N+4)/4 da cui 3N=2N+8 ovvero N=8.
La squadra era composta da 8 mietitori.
P1. Il proprietario del negozio di cappelli ha perso € 50.
Il modo più facile per risolvere la questione è concentrarsi su chi ha guadagnato e chi ha perso alla fine di tutte le transazioni.
• La Fioraia: Ha dato € 50 reali e ha ricevuto € 50 reali. La sua perdita è zero. Lei è un elemento di distrazione nel problema.
• Lo Sconosciuto (il truffatore): È l’unico che ha avuto un guadagno. Se n’è andato con un cappello del valore di € 10 e con € 40 di resto in contanti. Il suo guadagno totale è di € 50.
Poiché il guadagno del truffatore proviene interamente dalle tasche del venditore, la perdita del venditore è esattamente uguale al guadagno del truffatore.
I mietitori. Buon pomeriggio Fabio. La squadra era composta da 8 mietitori. (vedi foglio allegato)
Problema n°4 (mele rosse e mele verdi):
mele verdi = 32, mele rosse = 40.✔️
Si imposta una equazione di primo grado come indicato nel mio allegato.✔️
Problema n° 2 (i mietitori):
confermo una squadra di 8 mietitori, come già scritto dagli amici Dario Uri e Giorgio Vecchi.
Ciao Massimo, quello delle mele l’avevo affrontato così:
r/5 = v/4
(r-16)/3 = (v-16)/2
da cui r = 40 e v = 32.
Problema 3.
Chiamo F1 il campo di fragole iniziale e P1 sarà il campo di pomodori iniziale.
L’area convertita è A=15m^2, con lati 3m (dato) e 5m (calcolato).
Il campo finale di pomodori, quadrato, sarà 5*5=25m^2.
E’ semplice ora ricavare l’area P1, che è pari a P2-A
P1=25-15=10m^2
C’è solo da aggiungere che dai dati del problema nulla si può determinare sulle aiuole di fragole, prima e dopo.
A domani per tt le soluzioni.
“C’è solo da aggiungere che dai dati del problema nulla si può determinare sulle aiuole di fragole, prima e dopo.” E’ questo l’aspetto più interessante del problema.
Sì, Fabio.
Ho voluto aggiungere quella nota perché, per mia disattenzione, all’inizio avevo letto che bisognasse trovare l’area dell’aiuola di fragole.
E non ci riuscivo! il problema mi sembrava davvero indeterminato.
Poi, rileggendo con calma il testo (è la cosa fondamentale! lo dico sempre a mia figlia studentessa 🙂 ) ho capito che chiedeva altro, e non poteva chiedere l’area delle fragole.
Attendo le tue soluzioni commentate, e illustrate.
Ciao,
Vic
I mietitori.
Se l’intera squadra ha lavorato sul prato più grande per mezza giornata e metà squadra per mezza giornata, allora è chiaro che metà squadra può tagliare 1/3 del prato grande in mezza giornata. Questo significa che nel prato più piccolo c’è una porzione non tagliata pari a 1/2 – 1/3 = 1/6. Se un falciatore può lavorare 1/6 di un prato in un giorno, e un totale di 6/6 + 2/6 = 8/6 sono stati tagliati, allora ci devono essere 8 lavoratori.
Problema 2. Otto mietitori, l’ho affrontato così:
tutta la squadra di n persone in mezza giornata più metà della squadra nell’altra mezza giornata mietono il campo grande, il quale ha area doppia di quello che viene mietuto da mezza squadra in mezza giornata più 1 persona in una giornata. Il tutto espresso in equazione diventa:
n/2 + n/4 = 2(n/4 + 1) da cui n = 8.
Problema 4.
Chiamo R1 e V1 le mele Rosse e Verdi iniziali, appena raccolte, e poi R2 e V2 quelle rimaste dopo lo “spuntino” dei contadini.
Risultano le seguenti relazioni:
V1=4/5*R1
V2=2/3*R2
R2=R1-16
V2=V1-16
Risolvendo per sostituzione il semplice sistema di equazioni ottengo:
R1= 40 mele rosse
V1= 32 mele verdi
…non granchè come raccolto, ma saranno state sicuramente buonissime! 🙂
Ottimo Vic, come sempre, a domani per tt le soluzioni.