151. Soluzioni del 16 giugno 2025 – Pancake a colazione

1. La sfida dei biscotti. Alberto e Beatrice hanno di fronte due contenitori con biscotti. In un contenitore ci sono 8 biscotti al cioccolato e nell’altro 4 biscotti al limone. Ogni giocatore può prendere i biscotti in due modi:

• prendere un numero qualsiasi di biscotti da un contenitore,
•  prendere un numero uguale di biscotti da entrambi i contenitori.

Il giocatore che prende l’ultimo biscotto vince la partita e può tenere tutti i biscotti. Alberto inizia per primo. Quanti e quale tipo di biscotti deve prendere per vincere?

1. Soluzione. Per semplificare procediamo a ritroso. La chiave del gioco consiste nel lasciare a Beatrice un biscotto in un contenitore e 2 biscotti nell’altro, che è una posizione perdente, perciò alla prossima mossa Alberto sarà sicuramente vincente. Andando ancora indietro, Alberto alla sua prima mossa deve prendere un biscotto al cioccolato, lasciando 7 biscotti al cioccolato e 4 biscotti al limone, che è un’altra posizione perdente. In questo modo la prossima mossa di Beatrice non può essere quella di 3  biscotti al cioccolato, perché Alberto vincerebbe subito, inoltre qualunque altra mossa faccia Beatrice permetterebbe ad Alberto di ottenere (3,5) e successivamente (1,2) portando Alberto alla vittoria.

I numeri nelle coppie delle posizioni perdenti (m,n) appartengono alla successione di Wythoff. In generale per determinare la coppia perdente, si prende m come il più piccolo intero non ancora utilizzato nella sequenza mentre n è la somma di m + D + 1, dove D è la differenza tra i numeri della coppia precedente. Ad esempio, a partire da (0,0) il successivo m più piccolo intero non ancora utilizzato è m = 1, mentre n = 1 + 0 + 1 = 2 quindi la seconda coppia è (1,2). La coppia successiva è m = 3; n = 3 + 1 + 1 = 5 quindi (3,5); la coppia successiva è m = 4; n = 4 + 2 + 1 = 7 (4,7); poi m = 6 che è il numero più piccolo che non era ancora comparso, mentre n  = 6 + 3 + 1  = 10 quindi (6,10) e via di seguito.

La successione di Wythoff è strettamente collegata alla sezione aurea, infatti si può costruire anche nel seguente modo che riportiamo in tabella: 

m_i = ⌊ i • φ ⌋       n_i = ⌊ i • φ² ⌋

dove i è l’iesima coppia della successione; φ è il numero aureo (1 + √ 5)/2 ≈ 1,618; il simbolo ⌋ sta per parte intera del numero.

2. Pancake a colazione. Due amici sono a colazione di fronte a due pile di pancake di altezza m e n. Decidono di mangiare, a turno, dalla pila più grande un numero di pancake multiplo del numero di pancake nella pila più piccola. Il pancake inferiore di ogni pila è avariato e quindi chi finisce una pila è perdente. Per quali coppie m,n c’è una strategia vincente per chi inizia il gioco?

Ad esempio se le pile sono composte da 9 e da 5 pancake, il primo giocatore prende 5 pancake dalla prima pila lasciando 4 e 5, il secondo giocatore prende 4 pancake dalla seconda pila  lasciando 4 e 1. A questo punto il primo giocatore prende 3 pancake dalla prima pila lasciando 1 e 1 così il secondo giocatore è costretto a prendere l’ultimo pancake di una pila è sarà perdente.

2. Soluzione. Iniziamo con alcune considerazioni empiriche. Il primo giocatore è perdente quando m = n; il primo giocatore è vincente quando m > n con m multiplo di n, infatti prendendo (m – n) pancake dalla pila m, lascerà al secondo giocatore m = n che è una combinazione perdente; il primo giocatore può vincere quando una delle due pile ha un solo pancake perché potrà lasciare m = 1 e n = 1 e così il secondo giocatore sarà costretto a prendere l’ultimo pancake di una pila. Possiamo costruire la seguente tabella dove riportiamo in ogni riga le varie combinazioni di m e n; lo stato del primo giocatore ipotizzando che giochi in modo ottimale; il rapporto tra m e n con m > n.

Notiamo che quando m e n sono abbastanza distanti il primo giocatore si trova in una posizione vincente mentre quando m e n sono relativamente vicini il primo giocatore si trova in difficoltà. In particolare il primo giocatore ha una strategia vincente quando m/n > di 1,618 (φ il numero aureo) mentre sarà perdente quando m/n < 1,618.  

Supponiamo che il rapporto r = m/n sia compreso tra 1 e 2; quindi viene forzata la mossa successiva e il nuovo rapporto è 1/(1−r). Questi rapporti sono uguali solo per r = φ = (1+ √ 5)/2 ~ 1.618 (il numero aureo) poiché φ è irrazionale, uno dei due rapporti r e 1/(1−r) deve superare φ mentre l’altro sarà minore di φ.

In conclusione il primo giocatore ha una strategia vincente quando il rapporto iniziale tra la pila più grande e quella più piccola supera φ, nel qual caso può sempre fare una mossa che riduca il rapporto a meno di φ.

3. Tovaglia con triangoli. Due amici fanno colazione su una tovaglia disegnata con triangoli equilateri. Uno chiede all’altro quante sono le probabilità che lanciando un biscotto circolare di raggio 2 cm, si fermi all’interno del triangolo di lato 12 cm, senza toccare i lati?

disegno non in scala 

3. Soluzione. Le probabilità sono di circa il 17,86%. Si tratta di calcolare le probabilità che il centro del biscotto si fermi sul triangolo scuro rispetto al triangolo della tovaglia come illustrato nella figura seguente. Se definiamo L il lato del triangolo della tovaglia, r il raggio del biscotto, avremo:

disegno non in scala 

Area del triangolo tovaglia = (L² • √ 3) / 4 = 62,35 cm².

Per trovare il lato del triangolo scuro calcoliamo il cateto x del triangolo rettangolo di cui conosciamo l’altro cateto (r = 2 cm) e l’angolo opposto (60º). Avremo:

x = r tan(60°) = 2√3 = 3,46 cm. Il lato del triangolo scuro è quindi 12 – 2x = 5,07 cm.

Area del triangolo scuro = [(L – 2r√3)² √3] / 4 = 11,14 cm².

Probabilità = Area triangolo scuro / Area triangolo tovaglia = 11,14 / 62,35 = 0,1786 circa il 17,86%.

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.