I Giochi del Lunedì di Prisma del 15 giugno 2026 a cura di Fabio Ciuffoli
Più di cinquecento anni fa (19 giugno 1517) moriva Luca Pacioli, tra i maggiori matematici del Rinascimento italiano. Formatosi nell’aritmetica commerciale, fu mercante, frate francescano e docente di matematica, algebra e geometria. Collaborò con figure illustri come Piero della Francesca, Leon Battista Alberti e Leonardo da Vinci. Pacioli ebbe il merito di valorizzare anche l’aspetto ludico della matematica attraverso giochi logici, matematici e di prestigio. Per rendergli omaggio proponiamo tre problemi ispirati alla sua opera, invitando i lettori a inviare osservazioni e soluzioni. Per il problema 1, Una donna al mercato, abbiamo confrontato la soluzione originale di Luca Pacioli con quella fornita da ChatGP, ottenendo interessanti spunti di riflessione sul metodo, sulle tecniche e il contesto storico. Il secondo problema è una rivisitazione di un classico del I secolo dC. Il problema del Mago si presta ad uno stupefacente gioco collettivo con amici e conoscenti che vi consigliamo di provare. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni e il dialogo con il chatbot.
Fra’ Luca Pacioli dialoga con ChatGPT
1. Una donna al mercato. Una donna ha una cesta di uova da vendere; accade però che una pallonata gliele rompa tutte. La donna denuncia il fatto al podestà e chiede di essere risarcita. Il podestà decreta che le uova le siano ripagate. Il responsabile fra quelli che stavano giocando a palla dice: “E’ giusto, quante erano?”, la donna risponde di non saperlo, ma sa che contandole a due a due gliene avanzava uno, contandole a tre a tre e gliene avanzava uno, contandole per quattro gliene avanzava uno, contandole per cinque gliene avanzava uno, contandole per sei gliene avanzava uno e contandole per sette non ne avanzava alcuno. Quante uova erano?
2. Trenta ebrei e due cristiani. Su una nave viaggiavano dei mercanti: di questi 30 erano ebrei e 2 erano cristiani. Mentre navigavano sopraggiunse una tempesta, perciò, affinché non morissero tutti, occorreva alleggerire la nave di qualche passeggero. Benché vi fossero degli ebrei, anch’essi avevano timore di Dio e non volevano far violenza a qualcuno gettandolo in mare per forza; i poveri mercanti cristiani, dal canto loro, vedendosi in minoranza temevano di essere sopraffatti, ma, come è detto non accadde. Prese invece la parola uno degli ebrei e disse alla compagnia che sarebbe stato meglio morissero solo alcuni anziché tutti, e che avrebbero dovuto tirare a sorte per decidere chi buttare a mare per primo. Così mentre pensavano in che modo sorteggiare, si fece avanti uno dei mercanti cristiani, buon matematico, che disse, come teso al bene comune: “Mettiamoci in cerchio e, partendo da uno di noi, contiamo ripetutamente fino a 9. Quelli cui toccherà il 9 verranno buttati in acqua”. Tutti si dissero d’accordo. Subito i due cristiani, essendo della medesima fede, si misero vicini: quello che aveva parlato cominciò a contare, e contò in modo tale che il 9 toccò sempre agli ebrei e mai a loro due; così i 30 ebrei furono gettati tutti in acqua e restarono sulla nave solo i due cristiani. Da dove cominciò a contare e in che modo procedette affinché il nove non toccasse mai a loro?
3. Il mago. Il gioco consiste nell’individuare, fra più persone, chi ha un anello, in che mano e in quale dito e in quale falange del dito ha l’anello. Il mago dispone le persone in ordine e assegna loro un numero 1, 2, 3 ecc. Dice alle persone di assegnare un numero alle dita delle due mani: 1 al mignolo della mano sinistra; 2 all’anulare sinistro, 3 al medio sinistro ecc. 6 al mignolo della mano destra e infine 10 al pollice della mano destra. In questo modo con un numero si individua insieme la mano e il dito. Poi dice di assegnare un numero alle falangi: 1 alla prima falange del dito, quella più vicino al palmo; 2 alla seconda falange e 3 alla terza, quella con l’unghia.
Ora il Il mago dice: “Chi ha l’anello moltiplichi il suo numero per 2, poi sommi 5, poi moltiplichi per 5, aggiunga il numero del dito in cui ha l’anello, sommi 10, moltiplichi per 10, sommi il numero della falange del dito in cui ha l’anello. Infine dica il numero uscito”.
Per esempio, se la persona con l’anello fosse la n. 5 e l’anello fosse nella posizione tradizionale quindi nell’anulare sinistro alla prima falange, il calcolo sarebbe: [(5•2 + 5) • 5 + 2 + 10)] • 10 + 1 = 871.
A questo punto il mago è in grado di individuare chi ha l’anello, in che mano, in che dito e in quale falange del dito. Quale procedimento usa il mago?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I problemi sono tratti dal libro ‘I giochi matematici di Fra’ Luca Pacioli’ di Dario Bressanini e Silvia Toniato, Dedalo Edizioni, Bari, 2010
Nell’immagine in evidenza una rielaborazione del ‘Ritratto di Luca Pacioli con un allievo’ attribuito a Jacopo de’ Barbari, Pinacoteca del Museo Nazionale di Capodimente Napoli.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
13 risposte
Rimanendo ancora sul P3, il problema del mago, e cogliendo il suggerimento di Fabio di farne un gioco di gruppo, ho pensato ad una piccolissima variante.
Ogni partecipante ha un “anello”, cioè decide segretamente quale dito inanellarsi, e in più (separatamente, in assenza del mago) si assegna un numero identificativo, e non seguendo un progressivo assegnato come nella versione base.
A questo punto ognuno dichiara il proprio risultato, ed io (il mago!) per ciascuno indovinerò quale è il suo numero identificativo e dove esattamente ha l’anello.
…ovviamente utilizzerò il metodo immediato di Sergio (-350) 🙂
Che dite? può funzionare o mi sfugge qualcosa?
In tal modo però si supera la leggera incongruenza che nella versione base farebbe parlare solo il detentore dell’anello, vanificando la divinazione di chi sia.
Bravissimo Vic, hai centrato un punto debole clamoroso della formulazione classica: se il prestigiatore chiede “chi ha l’anello faccia questo calcolo e mi dica il numero”, colui che apre bocca si palesa all’istante! Che senso ha fargli calcolare l’identificativo P se vedo chiaramente chi sta parlando?
Con la tua variante, invece, il gioco diventa corale, molto più elegante e mantiene intatto il mistero. Dal punto di vista matematico, la formula 100P + 10D + F regge all’infinito, indipendentemente dalla grandezza del numero segreto scelto. Direi che funziona alla perfezione. Anzi, hai appena trasformato un semplice “indovinello algebrico” in un vero e proprio numero di “mentalismo”.
È un’ottima idea per vivacizzare una serata tra amici, aggiungendo quel tocco di “magia matematica” che lascia sempre tutti a bocca aperta.
La variante proposta da Vic e la concettualizzazione di Sergio, rendono il gioco di prestigio ancor più accattivante. E funziona!
Il testo diventerebbe: Il gioco consiste nell’individuare in che mano, in quale dito e in quale falange del dito ogni persona si è posizionata un proprio anello. Il mago dice alle persone di assegnare un numero alle dita delle due mani: 1 al mignolo della mano sinistra; 2 all’anulare sinistro, 3 al medio sinistro ecc. 6 al mignolo della mano destra e infine 10 al pollice della mano destra. In questo modo con un numero si individua insieme la mano e il dito. Poi dice di assegnare un numero alle falangi: 1 alla prima falange del dito (cominciando dal basso quindi vicino al palmo) 2 alla seconda falange e 3 alla terza). Il gioco procede in questo modo. Il mago dice: “Ogni persona, dopo aver posizionato l’anello, esegua il seguente calcolo: sommi 35 al numero del dito, poi moltiplichi per 10 e aggiunga il numero della falange. Infine dica il numero uscito.
Oggi pomeriggio le soluzioni argomentate compresa questa con la variante di Vic.
P3. Il trucco del mago si basa su una semplice, ma elegantissima, manipolazione polinomiale in base 10. Traduciamo le istruzioni verbali in un’equazione algebrica. Diciamo: P = il numero della persona, D = il numero del dito (da 1 a 10), F = il numero della falange (da 1 a 3).
Seguiamo passo passo i calcoli imposti dal mago alla vittima del trucco: Moltiplica per 2: 2P, Somma 5: 2P + 5, Moltiplica per 5: 5(2P + 5) = 10P + 25, Aggiungi il dito: 10P + 25 + D, Somma 10: 10P + 35 + D, Moltiplica per 10: 10(10P + 35 + D) = 100P + 350 + 10D, Aggiungi la falange: 100P + 350 + 10D + F.
Riorganizzando i termini, il numero finale R che viene comunicato a voce alta è:
R = 100P + 10D + F + 350
A questo punto, il procedimento segreto del mago è lampante: gli basta sottrarre 350 dal numero che gli viene detto. Così facendo, ripulisce l’equazione ottenendo esattamente il valore di 100P + 10D + F. Poiché ci troviamo nel sistema decimale, le posizioni delle cifre gli rivelano immediatamente i tre dati come se fossero scritti in colonna: La cifra delle unità corrisponde alla falange (F), la cifra delle decine corrisponde al dito (D) e la cifra delle centinaia (e delle eventuali migliaia) corrisponde alla persona (P).
Se la persona comunica il numero 871, il mago esegue mentalmente la sottrazione: 871 – 350 = 521. Leggendo le cifre da sinistra a destra svela l’arcano: persona n. 5, dito n. 2 (anulare sinistro), falange n. 1.
Nel caso in cui l’anello si trovasse proprio sull’ultimo dito, il pollice destro, si avrebbe uno 0 nella posizione delle decine da cui ricava che si tratta del dito numero 10. In tal caso, va perciò “restituito” l’uno riportato, sottraendo 1 dalla cifra delle centinaia per individuare la persona giusta.
Bravo Sergio!
non avrei saputo dirlo meglio 🙂
Grazie Vic!
Anche le tue risposte sono sempre molto chiare e precise!!!
Chiarissimo Sergio👏🏻👏🏻👏🏻
Grazie Fabio!
P3.
Il procedimento del “mago” dovrebbe essere a ritroso.
Data la moltiplicazione finale per 10, dal numero risultato basta isolare la cifra delle unità, e questa rappresenta la falange (ovviamente compresa tra 1 e 3).
Sottratto questo numero avremo un numero che termina con la cifra 0; dividendolo per 10 e sottraendo 10 (procedimento a ritroso) avremo un nuovo numero che è uguale a:
qualcosa + il valore del dito (compreso tra 1 e 10);
questo “qualcosa” deve essere un multiplo dispari di 5 (lo si deduce dal fatto che è stato ottenuto moltiplicando per 5 un numero pari + 5); cioè sarà 65, 75, 85, 95, ecc.
Determiniamo quindi questo “qualcosa” come il numero dispari di 5 subito inferiore al numero ottenuto precedentemente.
La differenza costituirà l’indicazione del dito.
Infine sottraiamo 5 al “qualcosa” e dividiamo per 2 per ottenere il numero che identifica la persona.
PS: ok, ho fatto la mia descrizione in un linguaggio forse non abbastanza matematico, ma Pacioli mi avrebbe capito 🙂
P2. Abbiamo complessivamente N = 32 passeggeri disposti in cerchio. Il passo di eliminazione è k = 9. Vogliamo determinare quali siano le ultime due posizioni “sicure” prima che il cerchio si svuoti del tutto. Invece di simulare l’eliminazione in avanti, operazione lunga e che si presta ad errori, possiamo usare la formula di ricorrenza del problema di Josephus e lavorare a ritroso.
Sapendo che alla fine (quando n=2) i due sopravvissuti occuperanno le uniche due posizioni disponibili (indici 0 e 1), possiamo calcolare quale fosse la loro posizione originaria nel cerchio di 32 persone applicando la relazione: P_n = (P_{n-1} + 9) (mod n)
Risalendo pazientemente il calcolo da n=3 fino a n=32, si scopre un fatto molto elegante. Numerando i posti nel cerchio da 1 a 32, le due posizioni che non vengono mai toccate dall’eliminazione cadono esattamente sui numeri 6 e 7. Questo dettaglio matematico collima perfettamente con il testo del racconto: “Subito i due cristiani… si misero vicini”. Infatti, le posizioni 6 e 7 sono contigue!
Arriviamo quindi alla mossa astuta del mercante. Il testo ci dice che è proprio lui a iniziare a contare. Affinché lui e il suo compagno finiscano per trovarsi esattamente nelle posizioni sicure (la numero 6 e la numero 7 rispetto all’inizio del conteggio), deve assegnare l’inizio della conta (il numero “1”) alla persona che si trova esattamente 5 posti prima di lui nel cerchio.
Così facendo, la sequenza si dipanerà in questo modo: La persona indicata (5 posti prima), 4 posti prima, 3 posti prima, 2 posti prima, 1 posto prima, Il mercante cristiano che ha parlato, Il secondo mercante cristiano. Iniziando a contare esattamente da quel punto, i due cristiani si garantiscono matematicamente la sopravvivenza, lasciando che il “9” colpisca inesorabilmente tutti gli altri passeggeri.
P2. Abbiamo complessivamente N = 32 passeggeri disposti in cerchio. Il passo di eliminazione è k = 9. Vogliamo determinare quali siano le ultime due posizioni “sicure” prima che il cerchio si svuoti del tutto. Invece di simulare l’eliminazione in avanti, operazione lunga e che si presta ad errori, possiamo usare la formula di ricorrenza del problema di Josephus e lavorare a ritroso.
Vedi https://utenti.quipo.it/base5/numeri/josephus.htm
Sapendo che alla fine (quando n=2) i due sopravvissuti occuperanno le uniche due posizioni disponibili (indici 0 e 1), possiamo calcolare quale fosse la loro posizione originaria nel cerchio di 32 persone applicando la relazione: P_n = (P_{n-1} + 9) (mod n)
Risalendo pazientemente il calcolo da n=3 fino a n=32, si scopre un fatto molto elegante. Numerando i posti nel cerchio da 1 a 32, le due posizioni che non vengono mai toccate dall’eliminazione cadono esattamente sui numeri 6 e 7. Questo dettaglio matematico collima perfettamente con il testo del racconto: “Subito i due cristiani… si misero vicini”. Infatti, le posizioni 6 e 7 sono contigue!
Arriviamo quindi alla mossa astuta del mercante. Il testo ci dice che è proprio lui a iniziare a contare. Affinché lui e il suo compagno finiscano per trovarsi esattamente nelle posizioni sicure (la numero 6 e la numero 7 rispetto all’inizio del conteggio), deve assegnare l’inizio della conta (il numero “1”) alla persona che si trova esattamente 5 posti prima di lui nel cerchio.
Così facendo, la sequenza si dipanerà in questo modo: La persona indicata (5 posti prima), 4 posti prima, 3 posti prima, 2 posti prima, 1 posto prima, Il mercante cristiano che ha parlato, Il secondo mercante cristiano. Iniziando a contare esattamente da quel punto, i due cristiani si garantiscono matematicamente la sopravvivenza, lasciando che il “9” colpisca inesorabilmente tutti gli altri passeggeri.
Traduciamo il racconto della donna in linguaggio matematico. Chiamiamo x il numero totale di uova presenti originariamente nella cesta. Le parole della donna ci forniscono questo sistema: x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 1 (mod 5), x ≡ 1 (mod 6), x ≡ 0 (mod 7)
Dalle prime cinque condizioni possiamo dedurre un fatto chiave: se togliessimo un singolo uovo dalla cesta, il numero rimanente sarebbe perfettamente divisibile per 2, 3, 4, 5 e 6. In altre parole, x – 1 deve essere un multiplo del minimo comune multiplo (m.c.m.) di questi cinque numeri, ovvero m.c.m.(2, 3, 4, 5, 6) = 60
Di conseguenza, x – 1 deve essere un multiplo di 60. Questo significa che la quantità di uova può essere scritta nella forma: x = 60k + 1 dove k è un numero intero positivo.
A questo punto entra in gioco l’ultima condizione, quella decisiva: la donna ricorda che contando per sette non ne avanzava nessuno. Quindi, il numero x deve essere un multiplo esatto di 7. Non ci resta che testare progressivamente i valori di k per trovare il primo numero che soddisfi quest’ultima regola, e infatti per k = 5, abbiamo x = 301 che diviso 7 fa 43 esatti, col resto di 0.
Il mistero è risolto: le uova nella cesta della donna erano 301.
Problema 1. Visto che diviso per 2 dà resto 1, dev’essere dispari.
Diviso per 5 dà resto 1, quindi l’ultima cifra dev’essere per forza 1.
Diviso per 4 dà resto 1, quindi le decine devono essere per forza pari.
Diviso per 3 dà resto 1, quindi o la cifra delle decine è 6, o sommare le centinaia e le decine deve dare 3 o un multiplo di 3, quindi il numero deve avere tre cifre (61 non è divisibile per 7).
L’informazione sulla divisibilità per 6 può essere ignorata perché contenuta sia in quella per 2 che per 3.
Vado per tentativi con i multipli di 7 di 3 cifre che terminano per 1. Visto che, dalla tabellina del 7, l’unico multiplo di 7 che termina con 1 è 21, significa che l’ultima cifra del divisore di 7 dev’essere 3 per forza di cose; inoltre, tale divisore non dev’essere divisibile per 3.
23 * 7 = 161, 160 non soddisfa la divisibilità per 3.
43 * 7 = 301. 300 è divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, quindi 301 è il nostro numero.