Soluzione del 15 giugno 2026 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato tre giochi proposti da Luca Pacioli, uno dei più grandi matematici e studiosi del Rinascimento Italiano. A lui si deve anche il merito di aver colto il valore ludico della matematica e di averlo evidenziato attraverso giochi logici e di prestigio. Di seguito pubblichiamo le soluzioni proposte da Luca Pacioli e il confronto nato dal dialogo con ChatGPT sul problema, 1 Una donna al mercato, immaginando lo stato d’animo del matematico biturgense. Presentiamo inoltre la soluzione alla variante proposta da Vic al problema 3 Il mago.
Fra’ Luca Pacioli dialoga con ChatGP – soluzioni
1. Una donna al mercato. Una donna va al mercato con una cesta di uova da vendere; accade però che una pallonata gliele rompa tutte. La donna denuncia il fatto al podestà e chiede di essere risarcita. Il podestà decreta che le uova le siano ripagate. Il responsabile fra quelli che stavano giocando a palla dice: “E’ giusto, quante erano?”, la donna risponde di non saperlo, ma sa che contandole a due a due gliene avanzava uno, contandole a tre a tre e gliene avanzava uno, contandole per quattro gliene avanzava uno, contando le per cinque gliene avanzava uno, contandole per sei gliene avanzava uno e contandole per sette non ne avanzava nessuno. Quante uova erano?
1. SOLUZIONE. Pacioli fornisce la soluzione, 301, ma ci avverte che ne esistono altre, come 721. Questo gioco si risolve per tentativi. Puoi dire che le uova erano 301, verifica e vedrai che è giusto, oppure che erano 721, verifica e sarà giusto. Il metodo di risoluzione più semplice comincia con il trovare il numero che dia resto uno dividendolo per 2, 3, 4, 5 e 6. Perciò troviamo, come dice anche Pacioli, un numero che viene diviso esattamente da questi numeri, ad esempio 720. Se ora sommiamo 1 troviamo 721, un numero che soddisfa il primo insieme di condizioni. La seconda condizione richiede che il numero sia divisibile per 7. In questo caso siamo fortunati poiché 721 è anche multiplo di 7 e quindi è una soluzione del problema. Proviamo ora invece a partire dal più piccolo numero che viene diviso esattamente da 2, 3, 4, 5 e 6. Troviamo cioè il loro minimo comune multiplo: 60. Se sommiamo 1 viene soddisfatto il primo insieme di condizioni, ma otteniamo un numero che non è multiplo esatto di 7. Notiamo tuttavia che se moltiplichiamo 60 per un qualsiasi numero intero n e sommiamo 1, otteniamo ancora un numero che soddisfa il primo insieme di condizioni. Possiamo allora imporre che (60n +1)/7 sia un numero intero. Il valore più piccolo possibile è 301, il primo fornito da Pacioli, e corrisponde a n = 5. Gli altri si ottengono sommando a n il valore 7. Per n = 12 otteniamo 721, il secondo valore fornito da Pacioli. Le soluzioni sono ovviamente infinite, si continua con 1141 poi 1561 poi 1981 e così via.
SOLUZIONE proposta da ChatGPT. (in colore)
Cerchiamo un numero N tale che:
In simboli:
N ≡ 1(mod2) [N diviso 2 lascia resto 1]
N ≡ 1(mod3) [N diviso 3 lascia resto 1]
N ≡ 1(mod4) [N diviso 4 lascia resto 1]
N ≡ 1(mod5) [N diviso 5 lascia resto 1]
N ≡ 1(mod6) [N diviso 6 lascia resto 1]
N ≡ 0 (mod7) [N diviso 7 lascia resto 0 quindi N è multiplo di 7]
Le prime cinque condizioni significano che N − 1 è multiplo di 2, 3, 4, 5 e 6. Dunque N − 1 deve essere un multiplo del minimo comune multiplo di questi numeri: mcm(2,3,4,5,6) = 60 quindi
N = 60k + 1 (per qualche numero intero di k. Ora imponiamo che N sia divisibile per 7:
60k + 1 ≡ 0 (mod7) [60k + 1 deve essere multiplo di 7]
Poiché 60 ≡ 4(mod7) [60 diviso 7 lascia resto 4]
4k + 1 ≡ 0 (mod7) che diviene 4k ≡ 6(mod7).
L’inverso moltiplicativo di 4 modulo 7 è 2, quindi 8k ≡ 12(mod7). Riduciamo k ≡ 12 ≡ 5 (mod7). Il più piccolo valore positivo è k = 5.
Allora N = 60⋅5 + 1 = 301.
Verifica:
Risposta: le uova erano 301. 🥚🥚🥚
(Se non si richiede il numero minimo, tutte le soluzioni sono 301 + 420t, con t intero non negativo; il più piccolo è 301, dove 420 è il più piccolo comune multiplo mcm(2,3,4,5,6,7) = 420.
Approfondimento. Il metodo utilizzato viene chiamato Teorema Cinese del Resto (Chinese Remainder Theorem, o CRT) perché compare per la prima volta nel libro Sunzi Suanjing (Il manuale di matematica di Sunzi) un testo cinese del III secolo d.C. in cui l’autore risolveva un problema identico, ma applicato al conteggio dei soldati in un esercito. Per chi fosse interessato presentiamo il problema e la soluzione di Sunzi.
Il problema di Sunzi “Ci sono alcune cose il cui numero è sconosciuto. Se divise per 3, il resto è 2; divise per 5, il resto è 3; divise per 7, il resto è 2. Qual è questo numero?”
SOLUZIONE. Sunzi risolve il problema attraverso una serie di passaggi numerici che anticipano l’algebra moderna. La logica si articola in questo modo:
Ora, moltiplicare i resti originali del problema per questi risultati specifici e sommarli:
(2 x 70) + (3 x 21) + (2 x 15) = 140 + 63 + 30 = 233.
Infine, per ottenere il numero minimo che soddisfa tutte le condizioni, basta sottrarre ripetutamente il prodotto dei divisori originali (3 x 5 x 7 = 105) fino a scendere sotto tale valore:
233 – 105 – 105 = 23. Il numero cercato è 23.
Altro metodo per la soluzione
Cercare un numero N tale che:
dividendo per 3 → resto 2 ⇒ N = 3a +2
dividendo per 5 → resto 3 ⇒ N = 5b + 3N
dividendo per 7 → resto 2 ⇒ N = 7c + 2N
Si nota che N lascia resto 2 sia con 3 che con 7. Quindi N − 2 è divisibile sia per 3 che per 7.
I multipli comuni di 3 e 7 sono 3⋅7 = 21 quindi si può scrivere: N = 21k + 2.
Ora si considera: “diviso per 5 dà resto 3”. Si provano i valori di N = 21k + 2 finché si trova quello giusto. Si calcolano alcuni valori:
k = 0 ⇒ N = 2 → non possibile.
k = 1 ⇒ N = 23 → 23 : 5 = 4 resto 3 (va bene). Risultato N = 23.
2. Trenta ebrei e due cristiani. Su una nave viaggiavano dei mercanti: di questi 30 erano ebrei e 2 erano cristiani. Mentre navigavano sopraggiunse una tempesta, perciò, affinché non morissero tutti, occorreva alleggerire la nave di qualche passeggero. Benché vi fossero degli ebrei, anch’essi avevano timore di Dio e non volevano far violenza a qualcuno gettandolo in mare per forza; i poveri mercanti cristiani, dal canto loro, vedendosi in minoranza temevano di essere sopraffatti, ma, come è detto non accadde. Prese invece la parola uno degli ebrei e disse alla compagnia che sarebbe stato meglio morissero solo alcuni anziché tutti, e che avrebbero dovuto tirare a sorte per decidere chi buttare a mare per primo. Così mentre pensavano in che modo sorteggiare, si fece avanti uno dei mercanti cristiani, buon matematico, che disse, come teso al bene comune: “Mettiamoci in cerchio e, partendo da uno di noi, contiamo ripetutamente fino a 9. Quelli cui toccherà il 9 verranno buttati in acqua”. Tutti si dissero d’accordo. Subito i due cristiani, essendo della medesima fede, si misero vicini: quello che aveva parlato cominciò a contare, e contò in modo tale che il 9 toccò sempre agli ebrei e mai a loro due; così i 30 ebrei furono gettati tutti in acqua e restarono sulla nave solo i due cristiani. Da dove cominciò a contare e in che modo procedette affinché il nove non toccasse mai a loro?
2. SOLUZIONE. Questo tipo di problemi, in cui vengono eliminati via via oggetti o persone, è conosciuto come “Problema di Iosephus” narrato da Giuseppe Flavio, storico ebreo del I sec. dC. che nel ‘De bello iudaico’ racconta della ribellione degli ebrei contro i Romani e del problema della decimazione.
L’arguto mercante cristiano ha cominciato a contare dal quinto prima di lui e ha continuato a contare, venendo verso di sé, così il nove è toccato al secondo ebreo dopo l’altro cristiano. Continuando in questo modo, toccherà sempre agli ebrei e nel cerchio predisposto, resteranno solo i due cristiani.
3. Il mago. Questo gioco consiste nell’individuare, fra più persone, chi ha un anello, in che mano e in quale dito e in quale falange del dito ha l’anello. Il mago dispone le persone in ordine e assegna loro un numero 1, 2, 3 ecc. Dice alle persone di assegnare un numero alle dita delle due mani: 1 al mignolo della mano sinistra; 2 all’anulare sinistro, 3 al medio sinistro ecc. 6 al mignolo della mano destra e infine 10 al pollice della mano destra. In questo modo con un numero si individua insieme la mano e il dito. Poi dice di assegnare un numero alle falangi: 1 alla prima falange del dito, quella più vicino al palmo; 2 alla seconda falange e 3 alla terza, quella con l’unghia.
Ora il Il mago dice: “Chi ha l’anello moltiplichi il suo numero per 2, poi sommi 5, poi moltiplichi per 5, aggiunga il numero del dito in cui ha l’anello, sommi 10, moltiplichi per 10, sommi il numero della falange del dito in cui ha l’anello. Infine dica il numero uscito”.
Per esempio, se la persona con l’anello fosse la n. 6 e l’anello fosse nel mignolo sinistro alla prima falange, il calcolo sarebbe: [(6•2 + 5) • 5 + 1 + 10)] • 10 + 1 = 961.
A questo punto il mago è in grado di individuare chi ha l’anello, in che mano, in che dito e in quale falange del dito. Quale procedimento usa il mago?
3. SOLUZIONE. Dal numero uscito il mago sottrae 350 e, di questo risultato, le centinaia corrispondono al numero della persona che ha l’anello; le decine corrispondono al numero del dito ed infine le unità corrispondono al numero della falange. Indicando con: n = numero della persona che ha l’anello; m = numero del dito; r = numero della falange; N = numero uscito, si imposta l’espressione
[(2n + 5) • 5 + m + 10] • 10 + r = N svolgendo
[10n + 25 + m + 10] • 10 + r = N
quindi 100n + 350 + 10m + r = N.
Ora da N si toglie 350 e rimane (100n + 10m + r) in cui n è il numero delle centinaia, m è il numero delle decine e r il numero delle unità. Nel nostro esempio 961 – 350 = 6111 quindi la persona n. 6, il dito n. 1 quindi mignolo sinistro, la falange n. 1 la più vicina al palmo della mano.
A proposito della variante proposta da Vic e la rielaborazione di Sergio che ringraziamo per la collaborazione.
Il testo diventa: Il gioco consiste nell’individuare in che mano e in quale dito e in quale falange del dito ciascuna persona si è posizionata un anello. Il mago dice alle persone di assegnare un numero alle dita delle due mani: 1 al mignolo della mano sinistra; 2 all’anulare sinistro, 3 al medio sinistro ecc. 6 al mignolo della mano destra e infine 10 al pollice della mano destra. In questo modo con un numero si individua insieme la mano e il dito. Poi dice di assegnare un numero alle falangi: 1 alla prima falange del dito (cominciando dal basso quindi vicino al palmo) 2 alla seconda falange e 3 alla terza).
Il gioco procede in questo modo. Il mago dice: “Ogni persona, dopo aver posizionato l’anello, esegua il seguente calcolo: sommi 35 al numero del dito, poi moltiplichi per 10 e aggiunga il numero della falange. Infine dica il numero uscito.
SOLUZIONE. La formula diventa (35 + m) • 10 + r = N quindi 350 + 10m + r = N. Ad esempio se l’anello fosse nella prima falange del dito medio sinistro: (35 + 3) • 10 + 1 = 381. Ora 381 – 350 = 31 che significa: 3 decine quindi l’anello è nel terzo dito il medio sinistro; 1 unità perciò l’anello è nella prima falange.
A questo punto la somma di 35 ha solo valore distrattivo, lo abbiamo lasciato per memoria di Pacioli, la formula potrebbe essere più semplicemente: 10m + r = N e nel nostro caso diventerebbe 10 • 3 + 1 = 31 e così si arriverebbe direttamente alla soluzione, ma si perderebbe un po’ di magia. Grazie a Vic e Sergio per le osservazioni.
I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
