121. Soluzioni del 22 aprile 2024 – Cerchi e triangoli sangaku
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I Giochi del Lunedì di Prisma del 29 maggio 2023 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo tre problemi che hanno fatto parte di alcune “battaglie matematiche”, tra studenti di scuola secondaria, organizzate dall’University College di Londra. Una “battaglia matematica” è uno scontro tra due squadre composte da un massimo di otto studenti ciascuna. A ogni squadra viene assegnata la stessa serie di otto problemi da risolvere in circa 40 minuti, poi inizia la sfida per mostrare le soluzioni. Per ogni problema, un membro di ciascuna squadra va alla lavagna e spiega la proposta di soluzione. I componenti dell’altra squadra fanno domande e oppongono osservazioni creando così un dibattito formale. I punti vengono assegnati in base alla validità delle soluzioni e delle obiezioni.
Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio relativo ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre proposte di soluzione.
Battaglie matematiche
1. Taglio quadrato. Un rettangolo 10 x 12 disegnato su una carta a quadretti viene piegato più volte lungo le linee per ottenere un quadrato 1 x 1. Se tagliassimo questo quadrato a metà lungo una linea parallela a due lati, come illustrato di seguito, quanti fogli di carta separati otterremmo?
E se il quadrato fosse tagliato in diagonale, dal centro del lato sinistro al centro del lato inferiore, quanti pezzi di carta separati otterremmo?
2. Sei lucchetti. Ci sono sei valigie chiuse e sei chiavi, ma non si sa quale sia la chiave per ciascuna valigia. Qual è il numero di tentativi di apertura delle valigie necessario per abbinare le chiavi alle rispettive valigie?
3. Sabotaggio del cubo. Kathy ha otto cubi gialli 1 x 1 x 1 identici. Vuole comporre un cubo 2 x 2 x 2 completamente giallo all’esterno. Peter vuole dipingere di viola alcune delle facce dei cubi 1 x 1 x 1. Qual è il numero minimo di facce che deve dipingere per evitare che Kathy riesca a rendere il suo cubo 2 x 2 x 2 completamente giallo all’esterno?
E cosa succede se Kathy ha 27 cubi 1 x 1 x 1 identici. Quante facce deve dipingere Peter per impedirle di creare un cubo 3 x 3 x 3 completamente giallo all’esterno?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I giochi di oggi sono tratti dal siti web di We Solve Problems wesolveproblems.org.uk
L’idea di mettere insieme la matematica e il parlare in pubblico viene dalla Russia, dove le “battaglie” fanno parte di una ricca tradizione di educazione matematica. Due aspetti emergono da queste iniziative. In primo luogo, viene incoraggiata la collaborazione, poiché ciascuna squadra risolve i problemi collettivamente. In secondo luogo, discutere di matematica ad alta voce è molto diverso da scriverla su carta e lo sviluppo di questa abilità si rivelerà molto utile per un futuro adulto.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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15 risposte
Problema n. 2 dei lucchetti. Se ho capito bene la domanda,
secondo me,
per 2 ; 2 ne basta una
Per 3 ; 3 ne bastano 3
Per 4 ; 4 ne bastano 6
Per 5 ; 5 ne bastano 10
Per 6 ; 6 ne bastano 15
Quindi n(n-1)/2
Aspetto la soluzione giusta
Problema 2. 5+4+3+2+1=15 tentativi.
1. Molto interessante e abbastanza sorprendente, almeno per me. Secondo me, se non ho preso abbagli, non dipende da come si piega ma dipende da come si taglia. A occhio e croce direi che nel caso specifico risultino 11 o 13 fogli di carta, cioè 1 in più di uno dei lati (a seconda appunto di come si taglia). Quello che si ottiene sempre partendo da un rettangolo NxM è una serie di N+1 striscioline lunghe M di cui N-1 larghe 1 e 2 larghe 1/2. Naturalmente N e M possono essere scambiati.
Problema 2.
max 6 prove per decidere dove va la prima chiave
max 5 prove per decidere dove va la seconda
e così via 4, 3 , 2 prove mentre l’ultima chiave non ha bisogno di prove perchè le è rimasto solo un possibile lucchetto.
Totale 20 prove
no, scusate, ha ragione Vic, ne basta una di meno ogni volta, totale 15
Esattamente. A domani per le soluzioni commentate.
Secondo me 14 sono sufficienti. 5 + 4+3+2
Problema 3.
Per il cubo da 2 è sufficiente dipingere due facce opposte di un solo cubetto. Essendo tutti cubetti d’angolo, una di queste facce risulterà visibile.
Per il cubo da 3 usando lo stesso approccio si dovrebbero dipingere così 20 cubetti (40 facce) per essere sicuri che Kathy sia costretta a usare uno di quelli come cubetto d’angolo (19 dei 27 non sono d’angolo). Una soluzione più economica è invece quella di dipingere completamente due cubetti per un totale di 12 facce. Kathy potrà mettere uno di questi due cubetti al centro invisibile, ma sarà costretta a usare l’altro in una qualunque posizione rendendo visibile almeno una faccia viola.
Ottimo a domani per le soluzioni argomentate.
Problema 2.
Nel caso più sfortunato, cioè di chiave trovata all’ultimo tentativo di ogni valigia, ci vorranno 15 (5+4+3+2+1) tentativi.
Nell’ipotesi ovviamente che le chiavi siano tutte giuste, e quindi ci risparmiamo l’ultimo tentativo per conferma di ogni valigia.
Qualcuno trova di meglio?
Problema 3.b
Con 27 cubetti la faccenda si complica, perché oltre ai cubetti nei vertici ci sono anche quelli al centro delle facce e lungo gli spigoli, oltre al cubetto nascosto centrale.
Comunque, per avere la condizione minima richiesta, forse a Peter basterà dipingere di viola due facce opposte di 8 cubetti: cioè uno in più dei 6 centrali + 1 nascosto.
Ma attendo proposte migliori 🙂
Problema 3.a 25 facce
Problema 3.b 109 facce
No, è sufficiente un numero più piccolo. A domani per le soluzioni.
Problema 3.a
A prima vista, mi pare che sia sufficiente dipingere di viola due facce opposte di un cubo per evitare che Kathy riesca a rendere il suo cubo 2 x 2 x 2 completamente giallo all’esterno.
Ottimo. A domani per le soluzioni commentate.