127. Soluzioni del 15 luglio 2024 – L’istinto matematico
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I Giochi del Lunedì di Prisma del 28 novembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo tre giochi matematici in omaggio al blog DataGenetics e al suo fondatore, lo scienziato Nick Berry, che ci ha lasciato nell’ottobre scorso, all’età di 55 anni, dopo una lunga battaglia contro il cancro. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando la spazio relativo ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
Omaggio al blog DataGenetics
1. Un professore scrive i numeri interi da 1-9999 (incluso) su un’enorme ideale lavagna. Invita uno studente a selezionare due numeri a caso, cancellarli e sostituirli con un nuovo numero che è la differenza assoluta dei due numeri cancellati, finché non rimane solo un numero.Questo numero rimanente è pari o dispari?
2. Siamo a una festa e ascoltiamo una conversazione tra Lucia e la sua amica. Nella conversazione, Lucia afferma di avere un numero segreto inferiore a 100 e fornisce le seguenti informazioni: “Il numero si può determinare in modo univoco dalle risposte alle seguenti quattro domande:
Lucia sussurra le risposte alla sua amica. Sfortunatamente, a causa del rumore durante la festa, sentiamo solo la risposta a una delle domande. La riposta è “sì” e ci viene detto che questa risposta ci consente di determinare il numero segreto. Qual è il numero segreto di Lucia?
3. Un mago matematico ha 100 carte, numerate da 1 a 100, che distribuisce in tre scatole in modo che ci sia almeno una carta in ciascuna scatola. Ora, voltando le spalle, invita un amico a scegliere due scatole e a prelevare segretamente una singola carta a caso da ciascuna scatola scelta. Il mago matematico chiede all’amico di pronunciare la somma di queste due carte e poi sarà in grado di indicare la scatola da cui non è stata prelevata la carta. In quale modo ha distribuito le carte nelle tre scatole?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I giochi sono tratti dal blog DataGenetics curato da Nick Berry. Nick ha avviato DataGenetics nel 2009 raccogliendo un enorme seguito per le sue spiegazioni accessibili a appassionate su argomenti di matematica, fisica e informatica.
L’immagine in evidenza, pubblicata sul blog DataGenetics, è tratta dal sito https://sketchplanations.com/tags/cognitive-bias
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
Tutti i diritti di proprietà artistica e letteraria sono riservati.
L’editore è a disposizione di eventuali detentori di diritti che non sia stato possibile rintracciare.
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27 Responses
Per il problema 3:
Scatola 1: solo il numero 1
Scatola 2: tutti i numeri da 2 a 99
Scatola 3: solo il numero 100
In questo modo la somma di due carte dalle scatole 1 e 2 è un numero compreso tra 3 e 100,
la somma di due carte dalle scatole 1 e 3 è 101, la somma di due carte dalle scatole 2 e 3 è un numero compreso tra 102 e 199. I tre possibili risultati hanno intersezione vuota. In questo modo sapendo la somma delle 2 carte estratte si sa da quale coppia di scatole sono state estratte e quindi anche da quale scatola non è stata prelevata nessuna carta.
Ottimo. C’è anche un altro interessante metodo basato sull’aritmetica modulare. A più tardi per le soluzioni.
Metto in una scatola tutti i numeri divisibili per 3, nella seconda i numeri che danno come resto 1 alla divisione per 3 e nella terza quelli che danno 2.
Se la somma delle due carte estratte è divisibile per 3 vuol dire che non ho preso un numero della prima scatola (1+2=3=0)
Se dà 1 come resto non è stata usata la terza scatola (0+1=1)
Se come resto dà 2 non è stata usata la seconda scatola (0+2=2).
Si può usare un numero qualsiasi di numeri compresi doppioni e numeri mancanti.
Perfetto. Tra poco escono le soluzioni.
Risposta al problema 3. Per semplicità, immagino un modello semplificato, in cui le carte siano in numero di dieci. Nella scatola x colloco la carta numerata con 1, nella z la carta numerata con il numero 10, nella y tutte le altre. Se le due scatole scelte sono x e z, allora ho come somma 11, e la scatola libera è y, quella in cui ci sono tutte le altre carte. Se il risultato è 10 o meno di 10, la scatola libera è la z. Se il risultato è superiore a 10, la scatola libera è la x.
Perfetto. Ti segnalo anche un altro procedimento basato sull’aritmetica modulare (modulo 3 in questo caso) che, sono certo, ti può interessare. Nel pomeriggio di oggi le soluzioni.
Il parametro di riferimento sono i numeri dispari… si “eliminano” ogni volta che si incontrano, per cui se all’inizio ne abbiamo un numero pari di volte (come nel nostro caso, cioè 5000) non ne rimarrà nessuno…
Ottima sintesi
Un pensiero riconoscente al prof Berry.
Non so se è questo il luogo per rispondere.
Provo il primo questto:
Il numero restante sarà pari.
Ogni operazione accoppia Due numeri:
Entrambi pari,
Entrambi dispari
O un pari e un dispari.
Inoltre diminuisce di 1 il totale iniziale N dei numeri.
Poiché N sarà alternativamente pari o dispari e, (dico con moltaapprossimazione) il modo di ottenere un risultato pari è prevalente rispetto a un dispari, l’ultimo numero sarà pari.
Perfetto. Sì è questo lo spazio per le risposte e i commenti che io vorrei diventasse una piazza virtuale di confronto e dibattito e in qualche modo lo sta diventando. E ancora riconoscenza al prof Berry per l’importante lavoro che ci ha lasciato.
Domani pomeriggio le soluzioni.
Ancora sul problema 2. Questa è la tabella che occorre costruire prima di rispondere alla domanda. Si tratta della parte più onerosa del problema, che per l’appunto ho demandato al calcolatore.
Come si vede, le uniche sequenze di risposte che sono valide per un solo numero sono quelle riferite ai numeri 35 e 70, e differiscono solo per la risposta relativa alla divisibilità per 2.
La domanda mi fa pensare che il procedimento di scelta delle coppie dei numeri non cambi il risultato in termini di parità del numero finale.
Allora mi vado a cancellare tutte le coppie di numeri consecutivi lasciando 1 o 9999 disaccoppiato insieme a 4999 ‘1’
Ripeto il procedimento su 4998 ‘1’ ottenendo tutti ‘0’ un ‘1’ e un dispari tra 1 e 9999
Gli zeri destinati a scomparire lasciano per ultimi i due dispari
per cui la differenza finale è pari
Problema 3.
Identifico le scatole come 0, 1 e 2. Poi le riempio in questo modo.
Scatola 0: 3, 6, 9, ecc.
Scatola 1: 2, 5, 8, ecc.
Scatola 2: 1, 4, 7, ecc.
Valuto il resto della divisione tra la somma ottenuta e 3.
Il valore del resto mi indica la scatola.
Perfetto aritmetica modulo 3.
Le risposte sono:
1) Pari
2) Le risposte che portano ad identificare un solo numero sono rispettivamente si, no, si, si. A questo punto il “si” che è stato udito deve essere relativo alla prima domanda ed il numero risultante è 70.
3) Divido le carte nel seguente modo:
* nella scatola A solo la carta 1
* nella scatola B solo la carta 100
* nella scatola C tutte le altre carte
Se la somma delle carte pescate è:
* 101 non sono state prelevate carte dalla scatola C
* da 3 a 100 non sono state prelevate carte dalla scatola B
* da 102 a 199 non sono state prelevate carte dalla scatola A
Perfetto! Il problema 3 prevede anche un’altra risposta possibile. A domani per le soluzioni.
La regola per determinare se il risultato del problema 1 è dispari oppure pari è quella di determinare la quantità di numeri dispari. Se il totale di numeri dispari è pari il risultato finale sarà pari mentre se è dispari il risultato finale sarà dispari.
Esatto. Per esempio se prendiamo i numeri da 1 a 5, quindi 3 dispari e 2 pari, il numero rimanente è dispari.
Problema 3. Io metterei le carte pari in una scatla, le carte dispari meno una nelka seconda e l’ultima dispari nella terza. Se la Sommer é pari, la scatola non scelta é quella delle carte pari, se é dispari, guardo se la terza scatola é vuota per determinare quale scatola delle carte dispari non è stata scelta.
Ma il matematico non può guardare le scatole nemmeno dopo l’estrazione e quindi devi rivedere il tuo metodo, seppure valido ma non esaustivo.
1 Dispari – dispari = pari
Pari – pari = pari
Dispari – pari o viceversa = dispari
2 Un unico numero risponde ad almeno 3
domande…il 70.
Ottima risposta alla domanda 2. A domani per le soluzioni.
N. 2. 70 e’ l’unico che si divide per 2, 3, 5, 7.
1. Quando cancello due numeri pari, scrivo un numero pari (i numeri dispari restano invariati).
Quando cancello due dispari, scrivo un pari (i numeri dispari diminuiscono di 2).
Quando cancello un pari e un dispari, scrivo un dispari (i dispari rimangono invariati).
Quindi la parità dei numeri dispari è un invariante. All’inizio ho 5000 dispari e 4999 pari. In qualunque momento ci sarà un numero pari di numeri dispari sulla lavagna.
Con un solo numero avrò 0 dispari e 1 pari.
Tra i numeri compresi tra 1 e 99, divisibili per sette e per cinque sono il 35 ed il 70. il 35 non è divisibile nè per 3 nè per 2. il 70 è divisibile per 2. Dunque, 70 e la risposta “sì” viene data alla domanda 1.
Ottimo a domani per le soluzioni.
Problema 2. In base ai dati del testo ci sono solo due numeri < 100 che possono essere determinati univocamente dalla risposta a quelle quattro domande e sono il 35 e il 70.
Per entrambi i numeri l'unico sì che li discrimina è la divisibilità per 2 quindi il numero segreto deve essere per forza il 70.