147. Soluzioni del 21 aprile 2025 – La vita matematica

Soluzioni del del 21 aprile 2025 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato 4 problemi tratti dalla rubrica “La vita matematica” pubblicata su HuffPost Italia a cura dell’ing. Franco Torre. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.  

La vita matematica – soluzioni 

1. Il Serbatoio. Un serbatoio pieno d’acqua perde ogni giorno un decimo del suo contenuto. Dopo quanto tempo si sarà svuotato della metà?

1. SOLUZIONE. Si calcola il contenuto presente nel serbatoio all’inizio di ciascun giorno:  

• inizio 1° giorno serbatoio pieno = 1
• inizio 2° giorno 1 – 1/10 = 9/10 = 0,9

• inizio 3° giorno 9/10 – (1/10) (9/10) = (9/10) – (9/100) = (90 – 9)/100 = (9/10)² = 0,81

• inizio 4° giorno (9/10)² – 1/10 (9/10)² = (9/10)³ = 0,729
• inizio 5° giorno (9/10)⁴ = 0,6561
• inizio 6° giorno (9/10)⁵ = 0,59049

• inizio 7° giorno (9/10)⁶ = 0,531441
• inizio 8° giorno (9/10)⁷ = 0,4782969 

Alla fine del primo giorno il contenuto del serbatoio sarà 9/10 di quello iniziale, alla fine del secondo 0,81, cioè 0,9², alla fine del terzo 0,729 cioè 0,9³ e così via. Con questo procedimento empirico si trova che il contenuto del serbatoio si dimezza nel corso del settimo giorno.

In generale indicando con t il tempo in giorni la formula è (9/10)^t = ½.
Occorre quindi trovare l’esponente t, da dare a 9/10, per ottenere ½. Utilizzando i logaritmi si arriva velocemente alla soluzione, si calcola il logaritmo in base 9/10 di 0,5. 
Dal momento che log_9/10 0,5 può essere espresso come rapporto tra log₁₀ 0,5 e log₁₀ 0,9 il valore esatto è 6,578813 giorni. Il serbatoio si sarà quindi svuotato della metà alle ore 13,891512 del settimo giorno, vale a dire dopo 13 h e 53’ dall’inizio del settimo giorno.

2. Quattro triangoli. Quattro triangoli rettangoli e un rettangolo sono disegnati in figura. Le aree 1, 2 e 3 valgono, rispettivamente, 5, 45 e 20. Quanto vale l’area colorata del rettangolo ABCD?

Un’interessante considerazione: il risultato è indipendente dal valore dei cateti a e b. Questo significa che potremmo costruire altre figure a partire dalle stesse condizioni disegnando infiniti rettangoli con area 200, cambiando opportunamente i valori a e b alle condizioni che il loro prodotto sia 10. Ad esempio (a = 5; b = 2) (a = 4; b = 2,5) (a = 8; b = 1,25) e così via.

3. Il problema delle due candele. 

Due candele a forma di cilindro, di differente diametro ma della stessa altezza come schematizzato in figura, vengono accese contemporaneamente. Entrambe bruciano a velocità costante, la a brucia completamente in 10 ore, la b in 8 ore. Dopo quanto tempo dall’accensione l’altezza della candela b sarà la metà dell’altezza dell’altra candela?

3 SOLUZIONE. Costruiamo un sistema di assi cartesiani: sull’asse delle y riportiamo le altezze delle candele (AB rappresenta le altezze iniziali); sull’asse delle x riportiamo i tempi in ore (AC rappresenta 8 ore e AD 10 ore). Le linee BD e BC esprimono la variazione dell’altezza delle candele a e b, che diminuiscono gradualmente in funzione del tempo. Tracciamo l’ordinata FE con FG = GE e così individuiamo il tempo E nel quale l’altezza della candela a è il doppio della candela b.

Consideriamo i triangoli simili ABD e EFD, possiamo scrivere AD : AB = ED : EF

Consideriamo i triangoli simili ABC e EGC, possiamo scrivere AC : AB = EC : EG

Indichiamo con y il valore di EG (per cui EF = 2y) e con h l’altezza iniziale delle candele AB e con x il tempo cercato, dal momento che AD = 10 e AC = 8, sostituendo possiamo scrivere:

10 : h = (10 – x) : 2y

8 : h = (8 – x) : y

L’altezza iniziale delle candele h può essere così espressa

h = 20y / (10 – x);  h = 8y / (8 –x)

uguagliando e svolgendo

20y (8 – x) = 8y (10 –x)

160y – 20xy = 80y – 8yx

80y = 12 xy

x = 80y/12y = 20/3 = 6,66 che equuivale a 6 ore e 40 minuti.

4. Tre coppie di fidanzati.  Marcello e Claudia, Giuseppe e Roberta, Luca e Michela sono tre coppie e delle loro età si sa che:

1. La somma di tutte e sei è 137
2. Giuseppe e Roberta hanno in totale 47 anni
3. Ogni ragazzo ha 5 anni in più della sua fidanzata
4. Michela è la più grande delle ragazze ed ha 4 anni in più di quella più giovane.

Che età hanno i tre ragazzi?

4. SOLUZIONE. Indichiamo con a l’età di Marcello, con b quella di Giuseppe, con c quella di Luca, con x quella di Claudia, con y quella di Roberta e con z quella di Michela.

Sulla base dei dati possiamo scrivere:

(1) a + x + b + y + c + z = 137

(2) b + y = 47

(3) a = x + 5;    b = y + 5;    c = z + 5.

Sostituendo la (3) nella (2) avremo y + 5 + y = 47 poi 2y = 42 quindi y = 21 (Roberta) e infine b = 21 + 5 = 26 (Giuseppe).

Sostituendo la (3) nella (1) avremo x + 5 + x + 26 + 21 + z + 5 + z = 137 che diviene 2x + 2z = 80 quindi x + z = 40.

Ora se ipotizziamo che la ragazza più giovane sia y (Roberta con 21 anni) allora z (Michela) avrebbe 25 anni (4 anni in più della più giovane) e questo vorrebbe dire che x (Claudia) avrebbe 15 anni (perché z + x = 40) contraddicendo l’ipotesi dalla quale siamo partiti (Roberta la ragazza più giovane). A questo punto la più giovane dovrà essere x (Claudia) e di conseguenza l’età di z (Michela) = 4 + x. Infine essendo x + z = 40 avremo x = 18 e z = 22.

Le età dei ragazzi sono pertanto: 23 (Marcello), 26 (Giuseppe) e 27 (Luca). 

I Giochi del Lunedì di Prisma tornano tra due settimane.