71. Soluzioni del 28 novembre 2022 – Omaggio al blog DataGenetics

Le soluzioni del 28 novembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato tre giochi matematici in omaggio al blog DataGenetics e a Nick Berry, che è stato il suo fondatore e di seguito pubblichiamo le soluzioni.

Omaggio al blog DataGenetics – soluzioni

1. Un professore scrive i numeri interi da 1-9999 (incluso) su un’enorme ideale lavagna. Invita uno studente a selezionare due numeri a caso, cancellarli e sostituirli con un nuovo numero che è la differenza assoluta dei due numeri cancellati, finché non rimane solo un numero.Questo numero rimanente è pari o dispari?

1. Soluzione. Questo problema può essere risolto con l’applicazione del concetto di parità. All’inizio ci sono 9.999 numeri scritti sulla lavagna, di questi 5.000 sono dispari e 4.999 sono pari. Quando lo studente seleziona una coppia di numeri, ci sono tre possibilità: può selezionare due numeri dispari, due numeri pari oppure uno pari e uno dispari. Se seleziona due numeri dispari, la differenza assoluta tra due numeri dispari è sempre un numero pari e quindi la quantità di numeri dispari rimanenti è stata ridotta di due. Se seleziona due numeri pari, la differenza assoluta è pari, per cui la quantità di numeri dispari rimanenti rimane la stessa. Se seleziona un numero dispari e un numero pari, la differenza assoluta tra questa coppia è dispari, quindi cancella un numero dispari, ma ne scrive uno nuovo, quindi la quantità di numeri dispari rimanenti è la stessa.In sintesi, dopo ogni operazione, la quantità di numeri dispari o rimane la stessa o si riduce di due. Ora la quantità iniziale di numeri dispari sulla lavagna è 5.000, che è pari, dovrà rimanere pari, perciò se resta un singolo numero, non può essere dispari quindi deve essere un numero pari. 

2. Siamo a una festa e ascoltiamo una conversazione tra Lucia e la sua amica. Nella conversazione, Lucia afferma di avere un numero segreto inferiore a 100 e fornisce le seguenti informazioni: “Il numero si può determinare in modo univoco dalle risposte alle seguenti quattro domande:

  1. Il numero è divisibile per due?
  2. Il numero è divisibile per tre?
  3. Il numero è divisibile per cinque?
  4. Il numero è divisibile per sette?”

Lucia sussurra le risposte alla sua amica. Sfortunatamente, a causa del rumore durante la festa, sentiamo solo la risposta a una delle domande. La riposta è “sì” e ci viene detto che questa risposta ci consente di determinare il numero segreto. Qual è il numero segreto di Lucia?

2. Soluzione. Ci sono quattro domande e ogni risposta può essere sì o no, per cui ci sono sedici possibili combinazioni di risposte. Lucia ha detto che le risposte alle domande determinano in modo univoco il suo numero, quindi dobbiamo cercare le combinazioni che determinino in modo univoco un numero.

Cominciamo analizzando la combinazione: No, No, No, No (anche se sappiamo che è impossibile perché abbiamo sentito un sì) in ogni caso questa combinazione consente i numeri 11, 13 (e molti altri), quindi possiamo eliminarla.

Ora analizziamo la combinazione: No, No, No, Sì. Questa combinazione consente, 7, 49 (e un altro paio), quindi possiamo eliminarla.

Analizzando tutte le combinazioni, troviamo che solo due consentono un singolo numero:

No, No, Sì, Sì, determina 35.

Sì, No, Sì, Sì, determina 70

Il numero segreto è quindi 35, o 70. Entrambe queste soluzioni hanno le stesse risposte alle domande 2. “divisibile per tre”, 3. “divisibile per cinque” e 4. “divisibile per 7” pertanto, se conoscere la risposta di una sola domanda permette di determinare il numero, la domanda deve essere la 1. “divisibile per 2” per cui il numero segreto di Lucia è 70.

3. Un mago matematico ha 100 carte, numerate da 1 a 100, che distribuisce in tre scatole in modo che ci sia almeno una carta in ciascuna scatola. Ora, voltando le spalle, invita un amico a scegliere due scatole e a prelevare segretamente una singola carta a caso da ciascuna scatola scelta. Il mago matematico chiede all’amico di pronunciare la somma di queste due carte e poi sarà in grado di indicare la scatola da cui non è stata prelevata la carta. In quale modo ha distribuito le carte nelle tre scatole?

3. Soluzione Presentiamo due possibili strategie di distribuzione e calcolo.

Soluzione A. Questa è, probabilmente, la soluzione più semplice e intuitiva. Rispettando il vincolo che ci sia almeno una carta in ogni scatola, il matematico mette la carta 1 nella scatola n. 1, mette la carta 100 nella scatola n. 2 e mette le carte 2-99 nella scatola n. 3. Se la somma delle due carte è 101, l’amico ha scelto le scatole n. 1 e n. 2. Se la somma è maggiore di 101, l’amico ha scelto le scatole n. 2 e n. 3. Se la somma è inferiore a 101, ha scelto le scatole n. 1 e n. 3.

Soluzione B. La seconda soluzione si basa sull’aritmetica di modulo tre. Il matematico mette nella scatola n. 1 tutte le carte con resto zero dopo la divisione per tre, per esempio 3, 6, 9, 12, 15 …Mette nella scatola n. 2 tutte le carte con il resto uno dopo la divisione per tre, per esempio. 1, 4, 7, 10, 13 … Mette nella scatola n. 3 tutte le carte con il resto due dopo la divisione per tre. per esempio. 2, 5, 8, 11, 14 … Quando viene pronunciata la somma, il modulo della somma descrive quale scatola non è stata scelta. Se il resto è zero, la prima scatola non è stata scelta. Se il resto è uno, la terza scatola non è stata scelta. Se il resto è due, la seconda scatola non è stata usata. Qualsiasi carta selezionata dalla prima scatola ha modulo zero. Qualsiasi carta selezionata dalla seconda scatola ha modulo uno. Qualsiasi carta selezionata dalla terza scatola ha modulo due. Questa soluzione ha il pregio di poter essere generalizzata alla numerazione delle carte e senza alcun intervallo specificato.


A lunedì prossimo.

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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.

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