49. Soluzioni del 20 giugno 2022 – E’ tempo di esami

Le soluzioni del 20 giugno 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri mattina abbiamo presentato due problemi relativi agli esami di fine anno scolastico e accademico, di seguito pubblichiamo le soluzioni. 

E’ tempo di esami – soluzioni 

1. Immaginate di dover affrontare un esame su un tema scelto tra un gruppo di 25 temi. Il giorno dell’esame estraggono tre numeri che corrispondono a 3 di essi. Dovete sceglierne uno da sviluppare per l’esame. Quanti temi dovete studiare per avere il 90% di probabiltà che vi tocchi almeno uno degli argomenti che avete studiato?

1. SOLUZIONE. Ipotizzate di aver studiato n temi. Vediamo cosa succede con il primo tema d’esame. Ne esistono 25 possibili, ma ve ne sono (25 – n) che non avete studiato e questi sono i casi favorevoli alla probabilità che vogliamo calcolare. Ecco il secondo tema, ne esistono solo 24 possibili perché ne è già uscito uno e non avete studiato (24 – n). Con il terzo tema, ne restano 23 possibili e (23 – n)  favorevoli. Ora dobbiamo moltiplicare il numero dei casi favorevoli tra loro e dividerli per il prodotto dei casi possibili.

Il risultato è [(25 – n) (24 – n) (23 – n)] / (25 * 24 * 23) dove, ad esempio sostituendo n con 13, otteniamo 0,09 che corrisponde al 9%. Ovvero studiando solamente 13 temi su 25 (più o meni la metà) avete il 91% di probabilità che vi capiti uno di quelli che avete studiato!

 

2. A un esame di Calcolo delle Probabilità, il professore presenta tre scatole chiuse identiche: una contiene due palline nere, un’altra due palline bianche e la terza una pallina bianca e una nera, come schematizzato in figura.  Viene scelta casualmente una scatola e senza guardare si preleva una pallina dal suo interno. La pallina risulta nera, qual è la probabilità che anche l’altra sia nera?

2. SOLUZIONE. Scegliendo casualmente una delle tre palline nere, indicate con A, B e C nella figura seguente, avremo i seguenti casi:

  • se estraiamo A, la pallina rimanente è nera;
  • se estraiamo B, la pallina rimanente è nera;
  • se estraiamo C, la pallina rimanente è bianca.

Ci sono due casi, su tre, in cui la pallina rimanente è nera, quindi la probabilità che anche l’altra pallina nella scatola sia nera è 2/3 o del 67%.

Si può disegnare un diagramma a alebro con tre possibili casi iniziali (A, B e C) e le successive scelte che danno luogo alle   seguenti combinazioni: A – B;  B – A; C – Bianca. Due esiti con la seconda pallina nera su tre possibili.


A lunedì prossimo.

2 risposte

  1. Sul problema 2, quello delle tre scatole con paline bianche nere, si è sviluppato un interessante confronto tra chi sostiene il risultato di 1/2 e chi sostiene il 2/3. La soluzione corretta del problema, così come è scritto e riportato nelle soluzioni sopra, è 2/3. Riporto comunque uno stralcio del confronto tra i diversi sostenitori:

    Paola Fazzini: “Come altri esercizi di probabilità, questo può dare luogo a soluzioni diverse ma parimenti convincenti. L’ipotesi di avere estratto una pallina nera implica che una delle tre scatole sia esclusa, quella contenente le due bianche, e questa esclusione è lecita perché è nota la composizione delle tre urne. Alla seconda estrazione avremo quindi la pallina nera con probabilità del 50%, dovendo scegliere tra due urne.
    Un altro modo di pensare al problema riguarda il fatto che l’estrazione in successione di due palline dalla stessa urna, senza reimmissione della prima estratta, è analogo all’estrazione contemporanea di due palline; interpretando così l’esperimento, si tratta di calcolare la probabilità che l’urna scelta casualmente fra le tre date sia esattamente la prima; la soluzione è quindi 1/3.
    Entrambe le soluzioni, a mio avviso, sono giuste e questo non mi piace ma pare essere così”.

    Sergio Borroni a Paola Fazzini: “1/3 è sbagliata. Se la domanda fosse “che probabilità ci sono di scegliere la scatola con due palline nere?” sarebbe 1/3, ma qui si è fatto un ulteriore passo e si è ristretto il campo a due scatole, con una preselezione, quindi la probabilità è ½”.

    Nicola Fusco a Paolo Fazzini: “un problema di probabilità non può avere due soluzioni. L’unica corretta è 2/3, che si ottiene sia contando correttamente i casi equiprobabili sia applicando il teorema di Bayes, c’è poco da discutere. E questo vale per qualunque problema di probabilità: il valore di una probabilità è unico”.

    Marco Sanna: “Non bisogna fare l’errore di ragionare sulle probabilità a priori, ma solo sulle informazioni che abbiamo. Non è stata scelta la scatola con due palline bianche, quindi è come se non ci fosse. Ci sono due scatole: in una è rimasta la pallina nera, nell’altra quella bianca e la probabilità cercata è 50%”.

    Marco Lattarulo: “Io sono stato combattuto, lì per lì ho detto 50%. Ma in realtà sono piuttosto convinto che la probabilità sua 2/3, cerco di convincere gli scettici. Mettiamola così: facciamo 6000 estrazioni, grossomodo 3000 volte avrò pescato la palla nera. 
    Di queste 3000, 2000 volte avrò pescato la palla nera della scatola con due nere, e solo 1000 volte la palla nera della scatola mista.
    In soldoni, ha ragione chi applica il teorema di Bayes, sapendo che la prima estrazione è uscita la palla nera, ho 2/3 di possibilità che la seconda palla sia nera”.

    Fernando Di Chirico: “Prelevata la prima pallina nera si è nella situazione in cui ci sono due scatole possibili: la prima e la terza. Prelevando la prima pallina nera ho equiprobabili possibilità di averla prelevata da una delle due scatole, quindi ho il 50% di probabilità di prelevare una seconda pallina nera dalla stessa scatola. La risposta è ½.”

    Massimo Mondò: “L’enunciato appare molto chiaro e la domanda viene posta solo dopo che la prima estrazione è stata fatta, infatti recita: “viene scelta casualmente una scatola e senza guardare si preleva una pallina dal suo interno. La pallina risulta nera”.  Solo a questo punto vien posta la domanda… Per cui posso ragionare con un elemento certo ovvero che delle tre scatole iniziali delle quali si conosce la composizione NN / BB / NB la mia prima selezione sarà vera per una delle due possibili con almeno un N. Alla domanda quindi: qual è la probabilità che anche l’altra pallina sia nera devo rispondere con il 50% avendo due sole scatole possibili ed una sola con esito favorevole al quesito”.

    Fernando Di Chirico: “Scoperto l’arcano del perché ci siamo divisi in 2 gruppi. Come qualcuno ha supposto indovinando si tratta di calcolare una probabilità “a priori” ossia nell’ipotesi posta all’inizio di prelevare una pallina nera e poi una seconda pallina nera.
    Purtroppo come il quesito è posto può generare fraintendimenti.
    Chi infatti ha risposto 1/2 ha letteralmente concluso che la probabilità dovesse essere calcolata dopo aver effettivamente prelevato una pallina nera. Infatti il quesito usava il tempo al presente: “viene scelta…la pallina risulta…”. Quindi la probabilità sembrava dovesse essere calcolata dopo aver prelevato la prima pallina nera, e vi è un solo modo per farlo.
    Chi invece ha risposto 2/3 ha calcolato la probabilità “a priori”, cioè che scegliendo una scatola e prelevando una pallina nera anche l’altra fosse nera e in tal caso vi sono 3 modi di prelevare una prima pallina nera e 2 modi di prelevare una seconda pallina nera”.

  2. Segnalo due interessanti soluzioni del problema 1.
    Nino Aspesi ha scritto: “Devi studiare 13 temi. In tal modo, la probabilità che tra i 3 temi scelti fra i 25 non ce ne sia nessuno dei 13 che hai studiato è pari al 9,565% (quindi hai più del 90% di probabilità che ti tocchi uno degli argomenti che hai studiato). La probabilità che fra i 13 temi studiati ci sia uno solo dei temi estratti è del 37,304, quella che ce ne siano due è il 40,956% e quella che hai azzeccato tutti e tre i temi estratti è il 12,435%.”

    Lucia Famire ha scritto: “Le terne possibili totali (combinazioni semplici) sono 2300. Il 90% è 2070 terne favorevoli. Le terne sfavorevoli (cioè cono solo argomenti saltati) devono essere meno di 230.
    Saltando 12 argomenti, le terne che contengono solo quelli sono 220, saltandone 13 sarebbero già 286, maggiori di 230. Quindi al massimo si possono saltare 12 argomenti e studiarne 13.”

    Ringrazio gli autori per la collaborazione e disponibilità.

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