122. Soluzioni del 6 maggio 2024 – Il Gioco del Nim

Soluzioni del 6 maggio 2024 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato quattro partite dell’antico Gioco del Nim e di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzioni argomentate. 

Il Gioco del Nim – soluzioni 

1. In una partita, con la disposizione iniziale su tre file rispettivamente con 1 – 3 – 5 oggetti, come proposto in figura, vince chi ritira l’ultimo oggetto. Sapreste individuare chi è sicuro di vincere, il primo o il secondo giocatore? E con quale strategia?

1. SOLUZIONE. Esiste una strategia vincente per il primo giocatore, anche se tra tutte le possibili giocate iniziali solo una gli garantisce la vittoria: ritirare 3 oggetti dalla fila con 5 oggetti. Con l’ausilio della matematica binaria è possibile generalizzare, individuando una strategia valida per qualsiasi numero di file e di oggetti in ciascuna fila. Si trasforma il numero di oggetti, di ciascuna fila, in numero a base 2; i numeri binari così ottenuti si incolonnano e poi si sommano tralasciando i riporti. In questo modo, se tutte le cifre risultanti in ciascuna colonna sono pari, esiste una strategia vincente per il secondo giocatore (che consisterà nel lasciare, dopo la sua giocata, tutte le colonne con somma pari) mentre se almeno una cifra risultante in colonna è dispari, esiste una strategia vincente per il primo giocatore (nella sua prima giocata potrà lasciare tutte le colone con somma pari).

Questa regola generale vale, con gli opportuni adattamenti, anche nel caso in cui si giocasse al contrario, ossia chi ritira l’ultimo oggetto perde, come vedremo nella partita 4. 

Applichiamo ora la matematica binaria alla nostra disposizione iniziale 1 – 3 – 5. Trasformiamo i numeri di ciascun gruppo in numeri a base 2 poi sommiamo le unità di ciascuna colonna: tutte hanno somma dispari, da destra 3, 1 e 1, come mostrato in figura seguente.In questo caso esiste una strategia vincente per il primo giocatore. Egli deve giocare in modo da lasciare tutte le colonne con somma pari e l’unica possibilità consiste nel modificare il 5 e lasciarlo come 2 (in binario 10). Perciò egli deve eliminare 3 oggetti dal gruppo che ne ha 5. La nuova disposizione è illustrata in figura seguente.Tutte le colonne ora hanno somma pari, per cui qualsiasi mossa farà il secondo giocatore lo porterà a lasciare alcune colonne con somma dispari e il primo giocatore potrà tornare a lasciare tutte le colonne con somma pari fino alla posizione finale, ritirando l’ultimo oggetto, con tutti i numeri 0.

2. In una partita Nim con la disposizione iniziale su tre file rispettivamente con 1 – 4 – 5 oggetti, come disegnato in figura, vince chi ritira l’ultimo oggetto. Sapreste individuare chi è sempre sicuro di vincere, il primo o il secondo giocatore e con quale strategia?

2. SOLUZIONE. Trasformiamo i numeri decimali in numeri binari, come proposto in figura.

La somma incolonnata, di ciascun numero binario, dà una cifra pari quindi esiste una strategia vincente per il secondo giocatore. Il primo giocatore lascerà almeno una colonna con somma dispari poi il secondo giocatore dovrà lasciare le somme delle colonne pari e via di seguito fino ad azzerare il valore delle colonne. 

3. In una partita Nim con la disposizione iniziale su tre file rispettivamente con 3 – 4 – 5 oggetti, come in figura, vince chi ritira l’ultimo oggetto. Sapreste individuare chi è sempre sicuro di vincere, il primo o il secondo giocatore e con quale strategia?

3. SOLUZIONE. Il primo giocatore ha una strategia vincente. Trasformiamo i numeri decimali in numeri binari come mostrato in figura.

La somma incolonnata, di ciascun numero binario, presenta almeno un numero dispari quindi esiste una strategia vincente per il primo giocatore, che nella sua prima giocata dovrà lasciare tutte le colone con somma pari e via di seguito.

4. L’anno scorso a Marienbad chi inizia perde sempre! Il Gioco del Nim è diventato popolare attraverso il film di Alain Resnais “L’anno scorso a Mariembad” Leone d’oro al Festival di Venezia 1961. Il protagonista X, interpretato da Giorgio Albertazzi, viene sfidato da un impassibile sconosciuto M, che lo batte sempre. Riportiamo un dialogo dal film.

M: ” Conosco un gioco in cui vinco sempre”.

X: “Se non potete perdere, non è un gioco”.

M: “Posso perdere ma vinco sempre”. 

M: “Si gioca in due. Le carte si dispongono in questo modo: 1 – 3 – 5 – 7. Ciascun giocatore prende le carte, quando è il suo turno. Quante carte vuole purché ne prenda da una sola fila alla volta. Quello a cui resta l’ultima carta … ha perduto. Volete cominciare voi?”

In figura proponiamo la situazione iniziale delle 16 carte.

Sapreste spiegare perché il signor M vince sempre?

4. SOLUZIONE. Trasformiamo i numeri decimali in binari come in figura seguente.Le cifre della somma incolonnata sono pari, quindi esiste una strategia vincente per il secondo giocatore, anche se si gioca al “contrario”, come a Marienbad, nel quale vince chi costringe l’avversario a ritirare l’ultima carta. Con questa disposizione iniziale delle 16 carte, vince sempre il secondo giocatore, se lascia all’avversario una delle seguenti combinazioni.

E’ interessante notare che, se si gioca al contrario la strategia dei giocatori inizialmente sarà la stessa, ma cambierà nel momento in cui la giocata normale (che porterebbe alla vittoria nella versione “chi prende l’ultimo vince”) potrebbe lasciare tutte le file con un solo oggetto. Da quel momento la giocata vincente consisterà nel lasciare un numero dispari di file con un solo oggetto (al posto di un numero pari di file, che sarebbe vincente nel gioco normale).  

Per chi volesse esercitarsi e mettersi alla prova, segnaliamo l’ottimo sito BASE Cinque curato da Gianfranco Bo che mette a disposizione un programma software per giocare con il computer. Divertente e con un’adeguata strategia, si può battere il computer!

http://utenti.quipo.it/base5/jsmarienbad/jsmarienbad.htm

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.