12. Giochi del 27 settembre 2021 – Il Primo Ministro russo risolve un problema di geometria

13 Responses

1. Credo esista una soluzione più semplice di quella proposta da Aurelio (ma le mie scarse competenze in geometria mi fanno dubitare che sia corretta).

   1) scelgo un punto qualunque della circonferenza.

   2) traccio un triangolo che unisca i due estremi del diametro al punto casuale che ho scelto.

   3) misuro i 3 lati e li uso per calcolare l’altezza

   4) uso la misura dell’altezza (che ancora non so dove deve “cadere” sul diametro, ma so quanto è lunga) insieme a uno dei lati per idealizzare un nuovo triangolo, rettangolo, composto anche da una “porzione” del diametro.

   5) a questo punto uso altezza e lato per misurare con il teorema di Pitagora la lunghezza della porzione di diametro.

   6) segno il punto della lunghezza ottenuta con il passaggio 5 sul diametro.

   7) unisco il punto trovato sul diametro al punto casuale scelto all’inizio… e quella linea sarà perpendicolare al diametro

   Sbaglio o è fattibile?

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   1. La soluzione proposta non rispetta i vincoli del problema. Si puó usare solo un righello non numerato quello che una volta si chiamava “asta”.

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   2. Scusate non avevo letto bene.
      Avevo capito di poter usare solo un righello, ma non solo un righello non segnato!

      Mi arrendo!

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2. Sarebbe bello sapere se uno dei nostri ministri saprebbero risolvere un problema geometrico solo col righello!!

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   1. Domanda con risposta difficile, ma se una persona si prepara, come avrà fatto il primo ministro russo, credo sia possibile. È interessante la scelta del problema e l’uso della lavagna, che ricorda la geometria dell’antica Grecia.

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3. Bravo Aurelio Roccasanta

   

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   1. Ottimo. La soluzione del
      Primo Ministro è più complessa e allora mi chiedo se con un semplice righello si puó tracciare la tangente a un cerchio?

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4. Salve,
   ecco la mia soluzione:
   Traccio una retta passante per un estremo del diametro (che chiamo A, L’altro estremo lo chiamo B) e il punto da me scelto (che chiamo P) , dopodiché partendo da P traccio la tangente a esso che per forza di cose interseca il diametro ( in un punto che chiamo I) a questo punto partendo da I traccio la tangente che dà sull’altro semicerchio (il punto con cui interseca la circonferenza lo chiamo Q), poi unisco P e Q e così ottengo un segmento perpendicolare al diametro (e che lo interseca nel punto L).
   Per dimostrare che è perpendicolare utilizzo il teorema delle tangenti e delle secanti secondo il quale posso scrivere le relazioni sulle 2 tangenti che intersecano entrambe la secante AB:
   AI : PI = PI : BI
   AI : QI = QI : BI
   tramite sostituzione ottengo
   PI^2/BI*QI= QI/BI
   e quindi:
   PI^2/BI= QI^2/BI
   semplifico BI e metto sotto radice i due membri così da ottenere:
   PI = QI
   a questo punto siccome i 2 segmenti sono due lati di un triangolo isoscele(è iloscele perchè ha due lati uguali) con base PQ posso dire che gli angoli alla base sono uguali, ovvero:
   PQI = QPI
   A questo punto posso dire che i due triangoli PLI e QLI sono uguali perchè hanno un lato uguale(PI e QI), un angolo uguale (PQI e QPI) e infine hanno un lato in comune che è LI.
   Siccome i 2 triangoli sono sono uguali allora posso dire che:
   QIL = PIL
   ora considerato che la somma degli angoli interni di un triangolo fa sempre 180 posso dire (riferendomi al triangolo PQI) che:
   QIP + PQI + QPI = 180

   siccome PQI e QPI sono uguali perchè i triangoli PLI e QLI sono congruenti, e considerato che QIP=PIL+QIL e quindi QIP=2QIL sotituisco:
   QIP + PQI + QPI = 180
   in:
   2QIL + 2LQI = 180
   Divido tutto per 2:

   QIL + LQI = 90
   a questo punto siccome la somma degli angoli interni del triangolo QIL deve essere 180 e che la somma tra gli angoli QIL e LQI fa 90 allora l’angolo QLI deve misurare 180- (QIL LQI)= 180-90= 90.
   Ora siccome QLI= PLI allora anche PLI=90

   Avendo dimostrato che QLI e PLI sono uguali a 90 gradi possiamo affermare con certezza che il segmento PQ è una perpendicolare sul diametro visto che l’angolo risultante dall’intersezione dei 2 segmenti misura 90 gradi.

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   1. Aurelio ti chiedo gentilmente se riesci a inserire un disegno immagine o foto nei formati supportati dal sito. In questo modo sarà più facile leggere la tua soluzione e coinvolgere anche altri lettori. Comunque me lo studio con calma. A presto

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   2. C’ho dovuto ragionare ma alla fine sono riuscito a capire la soluzione… credo…

      Funziona perché I è un punto dipendente dalla casualità di P giusto?

      Se I fosse stato fissato all’inizio dell’indovinello, sarebbe stato possibile usarlo per dedurre P e fare poi lo stesso ragionamento?

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      1. Ottimo. Oggi pomeriggio la soluzione con i disegni.

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5. Costruzione con riga e compasso? oppure il compasso è vietato?

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   1. Compasso non ammesso. Si può usare solo un righello, non numerato, per tracciare linee.

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