98. Giochi del 19 giugno 2023 – Numeri sulla fronte

7 Responses

1. Buonasera. Assegniamo ad ognuno dei 10 studenti un indice da 0 a 9.
   Indichiamo con:
   i: l’indice assegnato ad ogni sudente (da 0 a 9)
   ai: il numero che lo studente i-esimo ha sulla fronte
   ki: il numero che lo studente i fornirà come risposta
   TOT: la somma di tutti gli ai
   TOTP: la somma dei numeri sulle fronti che ogni studente vede (es.: per lo studente k, TOTP = TOT – ak)
   Avremo che TOT = p (mod 10), dove p è un numero da 0 a 9.
   Lo studente cui sarà stato assegnato l’indice p indovinerà il proprio numero sulla fronte fornendo come risposta il numero a tale che:

   TOTP+ki = i (mod 10)

   Infatti, poiché TOT = p (mod 10) e TOTP + ki = i (mod 10), per lo studente p-esimo avremo che i=p -> TOT – TOTP = ki e ki = ai

   Per cui lo studente p indovinerà il proprio numero.

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   1. Perfetto. Nel pomeriggio la soluzione.

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2. Se stabiliscono di dire ognuno una cifra diversa almeno sono sicuri di farcela nel caso che si tutte le fronti appaia la stessa cifra.

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3. Mi sembra abbastanza complicato fare dei calcoli precisi. Butto lì un’idea che dovrebbe aumentare la probabilità di riuscita rispetto al semplice “sparare a caso”. Se gli studenti sparano a caso la probabilità che almeno uno indovini si calcola facilmente ed è 1-(9/10)^10 = ~0,65132.

   L’idea è questa. Se i numeri sulla fronte vengono attribuiti a caso, succederà spesso che qualcuno tra questi numeri sarà ripetuto. L’idea è di sfruttare questa circostanza facendo sì che gli studenti che hanno lo stesso numero in fronte facciano tra loro un tentativo diverso per massimizzare le possibilità che almeno uno indovini e questo si può ottenere in questo modo: anticipatamente si accordano per attribuire a ogni studente un numero diverso tra 0 e 9, poi ogni studente somma i numeri che vede (coloro che vedono la stessa somma hanno lo stesso numero in fronte) e quindi aggiunge a tale numero il valore precedentemente attribuito. Poi si fa modulo 10 e questa è la risposta dello studente. Nel caso limite in cui i numeri attribuiti fossero tutti uguali avremmo la certezza che uno degli studenti indovinerà.

   Ho fatto una simulazione che arriva a una probabilità di circa 0.673.

   Forse si può fare di meglio ma io per ora mi fermo qui. 🙂

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4. Prima dell’esame, possono concordare di assegnare a ciascuno studente un numero da 0 a 9. Quindi, ogni studente può calcolare la somma dei numeri che vede sulla fronte degli altri studenti e prendere il resto quando diviso per 10 (mod 10). Ogni studente indovinerà quindi il numero assegnato a lui che corrisponde a questo resto. Cosi’, almeno uno studente è garantito di indovinare il proprio numero correttamente, garantendo che tutti gli studenti superino l’esame.

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5. 1. Possono comunicare tra loro, estremizzando anche per telefono, quindi non è necessario che si incontrino.
   2. Al momento di questa comunicazione non hanno i numeri scritti sulla fronte.

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6. Ho un paio di domande:
   1 – Per opportunità di comunicare si intende che si incontreranno?
   2 – Al momento di questa comunicazione avranno già i numeri scritti sulla fronte?

   Grazie in anticipo per una cortese risposta

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