127. Soluzioni del 15 luglio 2024 – L’istinto matematico
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La soluzione del 19 giugno 2023 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato un gioco sulle strategie di comunicazione e l’uso della matematica suggerito dal vincitore del Premio Gödel 2005. Di seguito pubblichiamo la nostra proposta di soluzione.
Numeri sulla fronte – soluzione
Dieci studenti devono sostenere l’esame di Calcolo delle Probabilità. A ciascuno di loro verrà scritta sulla fronte una cifra compresa tra 0 e 9 (potrebbero essere tutti 2 oppure 3 o anche tutti diversi). Ogni studente potrà vedere la cifra degli altri ma non la propria. In separata sede gli verrà chiesto di indovinare la cifra che ha sulla fronte. Tutti gli studenti saranno promossi, a condizione che almeno uno di loro indovini. Gli studenti hanno l’unica opportunità di comunicare tra loro solo prima dell’inizio dell’esame. Come possono massimizzare le loro probabilità di successo?
SOLUZIONE. Se gli studenti non disponessero di alcuna strategia, la probabilità che ogni singolo studente possa indovinare sarebbe 1/10, pertanto la probabilità che almeno uno studente indovini sarebbe 1 – (9/10)10 = 0,6513 quindi abbastanza bassa. Gli studenti potrebbero rovesciare il ragionamento, fissando l’obiettivo che solo uno dia la risposta corretta e procedere nel seguente modo. Si assegnano ciascuno una cifra identificativa da 0 a 9 poi, quando possono vedere gli altri, fanno la somma dei 9 numeri e di tale somma tengono conto solo della cifra delle unità (Mod 10). A questo punto sottraggono questa cifra delle unità dalla cifra identificativa che si erano assegnati all’inizio. La differenza è il numero che dichiarano di avere sulla fronte e uno dei 10 senza alcun dubbio indovinerà.
Esempi. Supponiamo che i dieci studenti si assegnino le cifre identificative nel seguente ordine: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Esempio a) A ciascuno studente vengono scritte rispettivamente le seguenti cifre (in questo caso senza ripetizioni): 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1.
Ogni studente calcolerà queste somme: 43 42 41 40 39 38 37 36 45 44. E in quest’ordine, da 0 a 9, ognuno dirà:
(0 – 3) = 7; (1 – 2) = 9; (2 – 1) = 1; (3 – 0) = 3; (4 – 9) = 5; (5 – 8) = 7; (6 – 7) = 9; (7 – 6) = 1; (8 – 5) = 3; (9 – 4) = 5.
Indovinerà lo studente identificato con il 5 che, calcolando la somma 38, dirà che il suo numero è il 7, come riassunto in tabella.
Esempio b) A ciascuno studente vengono scritte rispettivamente le seguenti cifre (in questo caso ripetizioni): 2 2 6 4 2 6 4 2 6 4.
E, come sopra, ogni studente calcolerà queste somme: 36 36 32 34 36 32 34 36 32 34 e ciascuno, nell’ordine, dirà: 4 5 0 9 8 3 2 1 6 5
Indovinerà lo studente cui è stata assegnata la cifra identificativa 8 che dirà 6, come da tabella seguente.
Segnalo l’ottimo procedimento proposto nei commenti da Fabio DF, che può facilmente essere generalizzato anche a un diverso numero di studenti.
A lunedì prossimo.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
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4 Responses
Fenomenale! Ci ho provato ma non sono andato oltre al 67% di successi ed invece è possibile indovinare nel 100% dei casi.
E tra l’altro vale con qualsiasi numero di giocatori N usando mod(N)
Scusa, ma non mi torna il risultato. Se in ordine di indice avessero in fronte le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, dato che la somma delle cifre viste diminuirà con l’aumentare della propria, le risposte saranno (indice/cifra in fronte/ risposta): 0/0/45-0=5(m10), 1/1/44-1=3(m10), 2/2/43-2=1(m10), 3/3/42-3=9(m10), 4/4/41-4=7(m10), 5/6/39-5=4(m10), 6/5/40-6=4(m10), 7/7/38-7=1(m10), 8/8/37-8=9(m10), 9/9/36-9=7(m10). In nessuno dei 10 casi la risposta coincide con il numero in fronte pur avendo applicato la strategia descritta.
Ti segnalo un errore nella sequenza dei calcoli nella colonna risposta, che va calcolata sottraendo dalla cifra indice il resto della somma mod 10. Nel tuo esempio hai scambiato i due termini della sottrazione. Svolgendo il caso da te proposta, lo studente con indice 5 che conta somma 40 e con scritto 5 in fronte, dirà 5 e indovinerà.
Sì, ho sbagliato usando l’indice come sottraendo. Lo studente con indice 5, avendo “6” in fronte, vedrà come totale 45-6=0+1+2+3+4+5+7+8+9=39. Anche così, 15-9=6.