121. Soluzioni del 22 aprile 2024 – Cerchi e triangoli sangaku
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I Giochi del Lunedì di Prisma del 6 febbraio 2023 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo tre problemi tratti dal libro Pillole Matematiche di Piergiorgio Odifreddi. Queste pillole, come scrive l’autore nell’introduzione, “intendono fornire un ricostituente preventivo per la salute mentale e il benessere psichico che vengono messi seriamente a rischio dall’irrazionalità e dall’analfabetismo scientifico”. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio relativo ai commenmti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre soluzioni.
Pillole matematiche
1. Meandri fluviali. 
In condizioni ottimali il percorso di un fiume, in determinate aree, tende a formare meandri. I meandri possono considerarsi una successione di semicirconferenze, di diametro variabile, disposte ordinatamente sul segmento che unisce in linea d’aria l’inizio e la fine, come schematizzato in figura a lato.
In questa condizione ideale, ipotizzando che la distanza tra A e B sia di 100 chilometri, come è possibile calcolare la lunghezza del fiume?
2. Il problema della Jeep. Un esploratore vuole attraversare il deserto con la sua Jeep. L’auto può trasportare al massimo il carburante sufficiente per attraversare metà deserto e esiste un solo distributore di carburante che si trova nella località di partenza.
Come può attraversare il deserto? E quanti carichi di carburante dovrà consumare per portare a termine l’impresa?
3. Il giro del mondo in aereo. Un aereo deve compiere il giro della Terra senza scalo, ma può trasportare carburante sufficiente solo per metà del viaggio. Altri aerei dello stesso tipo possono raggiungerlo e rifornirlo in volo ma devono ritornare alla base. Come può essere organizzata l’impresa?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
Il primo e il secondo gioco sono tratti e rielaborati dal libro Pillole matematiche di Piergiorgio Odifreddi uscito nel mese di dicembre 2022. Il terzo gioco è una delle tanti varianti del gioco della Jeep che vanta una lunga tradizione a partire dal Medioevo con Alcuino da York.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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24 risposte
pillola uno: somma semicirconferenze = somma diametri x PiGreco/2 . Ne consegue che la lunghezza del fiume è 100 x PiGreco/2 = circa 157 chilometri.
pillola 2: mi serve avere a metà strada il carburante per l’altra metà (serbatoio pieno).
Con un pieno faccio metà strada oppure 1/4 andata e ritorno lasciando 1/4 oppure 1/4 sola andata lasciando 3/4.
Ragionando a ritroso per portare il carburante necessario a 1/2 del percorso a 1/2 del percorso ho bisogno di avere 7/8 del carburante a distanza 3/8. Per portare 7/8 del carburante a distanza 3/8 ho bisogno di 12/8 a distanza 2/8. Per portare 12/8 a distanza 2/8 ho bisogno di 23/8 a distanza 1/8. Per portare 23/8 a distanza 1/8 ho bisogno di 44/8 al punto di partenza. 44/8 = 11/2 e visto che il pieno serve per 1/2 del percorso bastano 11 pieni di carburante.
D’accordo sulla 1; sulla 2 anche io ho seguito il tuo procedimento, ma il risultato è diverso. Oggi pomeriggio le soluzioni.
Problema 1
(100 × 3.14) :2
Ottimo nel pomeriggio le soluzioni
Problema 3. Ammesso che siano possibili le seguenti cose: il rifornimento è istantaneo, può avvenire anche tra aerei che si incontrano provenendo da direzioni diverse e può essere fatto contemporaneamente a favore di due aerei e ammesso che un aereo possa ritrovarsi in volo con il serbatoio vuoto, allora ho una soluzione con 3 aerei (A, B, C) e 5 serbatoi consumati in totale.
Per comodità ipotizzo che il viaggio completo intorno alla terra duri 24 ore.
Ora 0: A, B, C partono nella stessa direzione con serbatoio pieno.
Ore 3 (1/8 di giro): Tutti hanno serbatoio a 3/4. C rifornisce di 1/4 A e B che vanno a 1, rimane con 1/4 che gli serve per tornare alla base (alle ore 6).
Ore 6 (1/4 di giro): A e B hanno 3/4. B rifornisce A di 1/4. A va a 1 e prosegue. B ha 1/2 che gli serve per tornare alla base (alle ore 12).
Ore 12 (1/2 giro): A è agli antipodi delle partenza e ha consumato 1/2. C parte dalla base in direzione opposta all’inizio per incontrare A.
Ore 18 (3/4 di giro): A ha 0, incontra C con 1/2 che gli cede 1/4. Hanno entrambi 1/4 e proseguono insieme. Parte B per andargli incontro.
Ore 21 (7/8 di giro): B ha 3/4 e ne cede 1/4 ad A e 1/4 a B. Rimangono tutti con 1/4 e possono tornare insieme alla base alle ore 24.
Perfetto. Ovviamente si ipotizzano le condizioni ideali che tu hai precisato. Questa è anche la mia soluzione, che ho schematizzato con un disegno tratto dal blog di Gianfranco Bo, che pubblicheremo oggi pomeriggio.
Problema 2. 14 carichi di carburante. Divide in 3 settori, la metà percorso. Fa il primo settore, consuma 1/3, Scarica 1/3 e ritorna. Lo fa per 14 volte. Poi stessa cosa per 5 volte, verso il srcondo settore, e due verso il terzo. A questo punto si trova a metà, e con un pieno. Va fino ala fine.
Problema 3.
Suddividerei la circonferenza terrestre (giro del mondo) in 6 tratte, dato il vincolo che tutti gli arei devono tornare alla base.
Mi risultano così una serie di viaggi e rifornimenti in volo per un totale di 14 pieni!
…forse converrebbe investire su una modifica di serbatoio 🙂
C’è un metodo che porta a usare “solo” 5 serbatoi. A domani per la soluzione.
L’esploratore parte con un pieno. Arriva ad 1/4 del percorso. Scarica metà serbatoio in una tanica e lascia lì la tanica così riempita. Con il quarto di benzina torna al distributore dove fa’ di nuovo il pieno. Raggiunge la tanica, che stavolta porta con sé. Arriva a metà deserto. Fa’ di nuovo il pieno.
Ok a domani per le soluzioni.
Ciao Fabio siccome la circonferenza di un cerchio si calcola diametro * 3,14 qui basta fare la somma dei diametri (100) per 3,14 / 2 perché i cerchi sono la metà
Gioenzo!!! Che sorpresa, sono contento di leggerti. Ottima risposta ciaoo. A domani per le soluzioni.
Errato. Avevo capito male il problema. Tutto il carburante che può trasportare equivale a quello che contiene il serbatoio
A domani per le soluzioni.
Deve fare 8 viaggi e consumare 8 serbatoi di benzina.
Chiamiamo L la distanza da coprire, e Q la quantità di carburante che può trasportare.
Al primo viaggio arriva ad L/8 lascia 1/2 Q e torna indietro, consumando 1/2 Q
Secondo viaggio: arriva a L/8, riempie il serbatoio ( lasciando 1/4Q) e prosegue fino a 2L/8) dove lascia 1/2Q.
Torna a L/8, fa rifornimento con 1/4Q e torna al punto di partenza.
Ripete la procedura altre due volte, accumulando 1,5Q in 2L/8
Il settimo viaggio va in 2L/8 riempie il serbatoio, prosegue fino a 3L/8 lascia lì 1/2Q torna a 2L/8, riempie il sebatoio e riparte per 4L/8 dove lascia 1/2Q per poi tornare a 2L/8.
A questo punto può concludere: preleva il 1/2 Q che è rimasto in 2L/2, e raggiunge L/2, dove riempie il serbatoio e prosegue fino alla meta.
Non mi torna la tua soluzione, Marco…
“Il settimo viaggio va in 2L/8 riempie il serbatoio, prosegue fino a 3L/8 lascia lì 1/2Q torna a 2L/8, riempie il sebatoio e riparte per 4L/8 dove lascia 1/2Q per poi tornare a 2L/8.”
Nel tuo settimo viaggio (partendo sempre dall’origine) arriverebbe a 2L/8, avendo consumato già 1/2Q, ok? Preleva 0,5Q da lì, lasciando 1Q in 2L/8.
Questo ultimo carico lo utilizza per trasferire 1/2Q in 4L/8.
Quindi quando ritorna in 2L/2 non c’è più nulla.
E comunque, quand’anche ci fosse ancora il 1/2Q che dici tu, non basterebbe ad arrivare a 8L/8, pure utilizzando il 1/2Q lasciato in 4L/8.
Seguendo il tuo procedimento bisognerà accumulare non 1,5Q in 2L/8, ma 2,5Q!
In totale si consumano quindi 11 pieni di serbatoio.
PS: sicuramente ora Fabio o il buon Giorgio Vecchi mi diranno che c’è una soluzione con 2 o 3 pieni, magari sfruttando i pannelli solari 🙂
Infatti, secondo me conviene procedere a ritroso partendo da quando mancherà un pieno per raggiungere la meta finale…… Non male l’idea dei pannelli solari 😎
Credo che potrà compiere l’intero percorso nel deserto lasciando del carburante lungo la strada,ritornando indietro per fare il pieno.I calcoli non li ho fatti ma penso che sia questa la strategia.
Problema 1: Ogni ansa del fiume è una semicirconferenza lunga pi*r dove pi è pi greco e r è il raggio della semicirconferenza. La lunghezza del fiume è pari alla somma di tutte le semicirconferenze. È possibile mettere in evidenza pi e, quindi, il fiume è lungo pi*Somma r. Ma Somma r = 100km, quindi il fiume è lungo 100*pi chilometri.
1. Ogni semicirconferenza è p/2 la sua parte di segmento AB. Quindi il totale è la somma di tutte le porzioni di AB * p/2, quindi AB * p/2
Ok. A domani per tutte le soluzioni.
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Ottimo. A domani per le altre soluzioni.