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I Giochi del Lunedì del 7 novembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo un gioco logico che, nella sua forma originaria, coinvolgeva una Principessa capricciosa e un Principe, suo spasimante. Il gioco ebbe grande diffusione e nei paesi orientali, suscitò un certo interesse tra le ragazze. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio riservato ai commenti. Alle ore 17.00 di domani pubblicheremo le soluzioni.
Il gatto dietro la porta
In un corridoio rettilineo ci sono sette porte e dietro una delle porte c’è un gatto. Il tuo obiettivo è trovare il gatto aprendo la porta corretta. Ogni giorno puoi aprire una sola porta e se trovi il gatto, vinci, ma se il gatto non c’è, la porta si chiude e devi aspettare fino al giorno successivo prima di poter aprire di nuovo una porta. Se il gatto fosse sempre dietro la stessa porta, potresti trovarlo al massimo in sette giorni aprendo ogni giorno una porta a turno, ma questo gatto è dispettoso e ogni notte si sposta di una porta a sinistra o a destra. Di quanti giorni hai bisogno per essere sicuro di trovare il gatto?
[Qualche suggerimento. Le 7 porte sono in fila, quindi se il gatto fosse dietro la prima o l’ultima porta avrebbe una sola opzione per muoversi durante la notte. Altrimenti, ogni notte, deciderebbe a caso se muoversi a sinistra o a destra. Ti suggeriamo di provare con un numero inferiore di porte. Ad esempio, con tre porte, sarà possibile trovare il gatto, al massimo in due giorni: il Giorno 1 apri la porta centrale; il Giorno 2 apri ancora la porta centrale. Questa strategia è vincente perché se il gatto non fosse dietro la porta centrale nel Giorno 1, allora sarebbe dietro una delle due porte laterali. E se si trovasse dietro una delle porte laterali, in entrambi i casi nel Giorno 2, si sposterebbe dietro la porta centrale. Se ci fossero quattro porte, sarebbe possibile catturare il gatto in quattro giorni….]
Aggiornamento per la soluzione click qui.
Il gioco del gatto dietro la porta è apparso originariamente su Numberplay del New York Times descritto come The Princess Problem, nel quale un Principe bussava alle porte e una Principessa volubile si spostava da una stanza all’altra. Questa versione ha avuto un grande successo tra gli insegnanti e gli studenti di matematica a Singapore. Toh Pee Choon, del National Institute of Education di Singapore, ha detto che “il contesto della Principessa ha avuto un grande effetto nel suscitare interessi per la logica nelle ragazze”.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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19 risposte
Apro la Prima porta a detra o posso aprire la porta a sinistra.al centro metto un gatto con due poli tre gatti neutr a sinistra e tre gatti neutr a destra se apro la porta di sinistra il gatto decade con carica di onda sinistra e viceversa.
Provo ancora a spiegare. Capisco che non sia facile da capire e come vedi non è nemmeno tanto facile da spiegare! 🙂
Proviamo a ragionare su un esempio ridotto. La premessa è sempre che dobbiamo partire da una parte e aprire le porte in sequenza per arrivare a intrappolare il gatto dalla parte opposta. Il fatto di considerare la parità o disparità tra le porte aperte (numerate da 1 a n) e la posizione del gatto è di fondamentale importanza.
Proviamo con 4 porte. Apriamo la porta 2 e supponiamo che il gatto si trovi dietro una porta pari: può essere quindi la 2 o la 4. Se è la 2 abbiamo già finito; se è la 4, al prossimo turno apriremo la porta 3 ma nel frattempo il gatto si sarà dovuto spostare dalla 4 alla 3 e lo catturiamo. Questo funziona con qualunque numero di porte. Se apriamo inizialmente la porta 2 e il gatto si trova dietro una porta pari sarà sempre a una distanza (rispetto alla porta che apriamo) multipla di 2 (o entrambi – porta aperta e gatto – in posizione pari o entrambi dispari). Quindi non rischiamo mai che ci scavalchi passando dall’altra parte! Se siamo a distanza di 2 e ci si va incontro lo si cattura. Se siamo a una distanza maggiore o lui cerca di scappare lo può fare solo da una parte e prima o poi esaurirà le porte e dovrà tornare indietro e noi lo troveremo. Se fai qualche esempio pratico ti renderai conto che è così ma ricorda che la premessa è che il gatto sia inizialmente dietro una porta pari!
Ma se il gatto è inizialmente in una posizione dispari che cosa succede? Può tranquillamente scappare e scavalcarci senza problemi. Ma una volta che noi abbiamo percorso tutte le porte fino alla penultima, dovremo ricominciare la seconda sequenza con una porta che abbia la stessa parità dell’ultima aperta: nel caso di 7 porte abbiamo aperto per ultima la 6 e possiamo indifferentemente ricominciare dalla 6 andando indietro o dalla 2 andando avanti (perché sono entrambe pari); se invece le porte fossero state 4 dobbiamo ricominciare dalla 3 andando indietro perché la 3 è l’unica porta con la stessa parità di quella aperta alla fine della prima sequenza (è sempre la porta 3).
Il fatto di ripartire con una porta con la stessa parità modifica il rapporto di parità tra porta e gatto. Il gatto deve spostarsi in una porta adiacente e se all’andata aveva una parità diversa dalla nostra, al ritorno avrà la stessa parità e quindi lo cattureremo perché ci riportiamo nella condizione analizzata all’inizio.
Ci si può chiedere: perché parto dalla seconda e arrivo alla penultima e non apro invece tutte le porte dalla prima all’ultima? Siccome cerchiamo il gatto ipotizzando che sia dietro una porta con la stessa parità di quella che stiamo aprendo, iniziando dalla seconda evitiamo di preoccuparci che il gatto sia nella prima (se fosse lì avrebbe parità diversa e lo troveremmo al ritorno), lo stesso ragionamento ci permette di ignorare l’ultima.
2 2 4 4 6 6 sei giorni
Ripetuti
Non è ancora esaustivo. Oggi pomeriggio la soluzione con l’ausilio di un grafico e la generalizzazione.
O meglio:
2 2 6 6 4 4 di continuo finche’ il gatto ci casca
Alternativa 1,2,3,4,5,6,6
Apro la 2. Se non c’è il gatto, la riapro il giorno dopo. Se il gatto fosse stato nella 1, lo troverei. Se fosse stato nella 3, si sarebbe potuto spostare in 3 o in 4. Apro di nuovo la 3, perché se il gatto fosse stato nella 4, si sarebbe potuto spostare o in 3 o in 5. Poi apro la 4, poi la 5, poi la 6. E dovrei trovarlo.
Il metodo è quello giusto ma non è esaustivo. Oggi pomeriggio la soluzione con dimostrazione e generalizzazione.
Apro sempre la porta 4 finche’ non ci casca il gatto. Massimo 6 giorni
3 2 1 2 3 4 oppure 5 6 7 6 5 4
Non è così perché il gatto potrebbe spostarsi ad esempio dalla 1 alle 2 continuativamente e non sarebbe catturato.
Ok …allora in 7 giorni………
2 2 3 4 5 6 6 e beccato
Ipotizziamo che le porte siano numerate da 1 a 7 da sinistra a destra. Il giorno 1 apro la porta 2 e nei giorni successivi la porta contigua a destra sino alla porta 6 (il 5° giorno). Il 6° giorno riapro la porta 6 e nei giorni successivi apro la porta contigua a sinistra. Nel peggiore dei casi lo troverò il decimo giorno dietro la porta 2.
Ottimo a domani per la soluzione con l’ausilio di una grafico e con la formula per generalizzare:
Apro in sequenza le porte 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6, oppure 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2. Con le prime aperture 2, 3, 4, 5, 6, aprendo quindi come prima porta una porta pari, se il gatto è inizialmente in una porta pari lo trovo, mal che vada all’ultima porta. Esempio:
Apro Gatto
2 4
3 5
4 6
5 7
6 6 trovato
oppure:
2 6
3 7
4 6
5 7
6 6 trovato
Se inizialmente fosse stato in una porta dispari non lo avrei trovato (all’apertura di ogni porta il gatto sarebbe stato dietro a una porta con parità differente da quella aperta, quindi all’apertura della porta 6 il gatto è in una qualunque porta dispari). Ora riapplico la stessa sequenza, ripartendo quindi dalla prima (o anche dall’ultima andando a ritroso) porta pari; nel frattempo però il gatto si è dovuto spostare in una porta pari, ristabilendo la parità tra porta aperta e posizione del gatto e quindi si torna alla situazione iniziale in cui sicuramente lo trovo.
Lo spostamento di più o meno una porta crea una alternanza continua tra pari e dispari.
La strategia di aprire più volte consecutive alcune porte può fornire informazioni per “chiudere” il gatto in uno dei 2 estremi.
Ad esempio se apro due volte consecutive la numero 2 ho la certezza che nei primi due giorni non era nella 1 o nella 2, e potrei proseguire aprendo due volte la numero 3, ma non vedo certezze proseguendo con tale metodo.
Dovrebbero essere al massimo 10 giorni (2*(n-2))
Con una corretta sequenza di 10 tentativi, catturero’ sicuramente il gatto
La mia proposta di soluzione è la seguente: 2,3,4,5,6,6,5,4,3,2.