68. Soluzioni del 7 novembre 2022 – Il gatto dietro la porta

Le soluzioni del 7 novembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato un gioco logico con un gatto capriccioso che, per evitare di essere catturato,  di notte si spostava da una porta all’altra. Di seguito pubblichiamo la nostra soluzione. 

Il gatto dietro la porta – soluzione

In un corridoio rettilineo ci sono sette porte e dietro una delle porte c’è un gatto. Il tuo obiettivo è trovare il gatto aprendo la porta corretta. Ogni giorno puoi aprire una sola porta e se trovi il gatto, vinci, ma se il gatto non c’è, la porta si chiude e devi aspettare fino al giorno successivo prima di poter aprire di nuovo una porta. Se il gatto fosse sempre dietro la stessa porta, potresti trovarlo al massimo in sette giorni aprendo ogni giorno una porta a turno, ma questo gatto è dispettoso e ogni notte si sposta di una porta a sinistra o a destra. Di quanti giorni hai bisogno per essere sicuro di trovare il gatto?

[Qualche suggerimento. Le 7 porte sono in fila, quindi se il gatto fosse dietro la prima o l’ultima porta avrebbe una sola opzione per muoversi durante la notte. Altrimenti, ogni notte, deciderebbe a caso se muoversi a sinistra o a destra. Ti suggeriamo di provare con un numero inferiore di porte. Ad esempio, con tre porte, sarà possibile trovare il gatto, al massimo in due giorni: il Giorno 1 apri la porta centrale; il Giorno 2 apri ancora la porta centrale. Questa strategia è vincente perché se il gatto non fosse dietro la porta centrale nel Giorno 1, allora sarebbe dietro una delle due porte laterali. E se si trovasse dietro una delle porte laterali, in entrambi i casi nel Giorno 2, si sposterebbe dietro la porta centrale. Se ci fossero quattro porte, sarebbe possibile catturare il gatto in quattro giorni….]

SOLUZIONE. Avevamo anticipato, nei suggerimenti di ieri, che un buon modo per risolvere questo problema è iniziare con poche porte e aumentare gradualmente il numero di porte fino a 7.  Come molti giochi di questo tipo, la chiave per la soluzione è una corretta visualizzazione. Mostriamo di seguito una griglia, nel caso in cui ci siano quattro porte. Su ogni colonna è riportato il numero della porta e su ogni riga il giorno e con X viene indicata la relativa scelta.

Il primo giorno c’è la possibilità che il gatto possa essere dietro una qualsiasi delle quattro porte, quindi ci sono gatti in ogni colonna. Apriamo la porta 2 e se c’è il gatto finisce il gioco, altrimenti procediamo. Il Giorno 2, il gatto può essere solo dietro le porte 2, 3 e 4, perché abbiamo escluso la possibilità, nel Giorno 1, che il gatto fosse dietro la porta 2. E se il gatto era dietro le porte 1, 3 o 4, saltando una porta a sinistra o a destra, le possibili posizioni sarebbero 2, 3 e 4. Il Giorno 2 apriamo la porta 3 e se c’è il gatto finisce il gioco, altrimenti procedo. Nel Giorno 3 ci sono solo due possibili posizioni in cui potrebbe essere il gatto, le porte 1 e 3. Apriamo la porta 3 e se c’è il gatto finisce il gioco altrimenti, nel Giorno 4, resta solo una posizione possibile: la porta 2. In sintesi, aprendo le porte in questo ordine – 2,3,3,2 – abbiamo una strategia per trovare il gatto al massimo in quattro giorni. 

Ora proviamo con cinque porte e disegniamo la relativa griglia, riportata di seguito. Con lo stesso metodo, utilizzato sopra, procediamo alla compilazione della griglia. È possibile catturare il gatto al massimo in 6 giorni, aprendo le porte nell’ordine: 2,3,4,4,3,2.

A questo punto possiamo individuare uno schema: iniziare dalla seconda porta, il giorno dopo aprire quella successiva e così via, fino ad arrivare alla penultima porta, e poi tornare alla seconda porta. Quindi, quando ci sono sette porte, l’ordine di apertura sarà: 2,3,4,5,6,6,5,4,3,2, perciò sono necessari al massimo dieci giorni. In generale, indicando con N il numero delle porte e G il numero di giorni, la formula è: G = (N –  2) x 2.


A lunedì prossimo. 

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