121. Soluzioni del 22 aprile 2024 – Cerchi e triangoli sangaku
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I Giochi del Lunedì di Prisma del 26 settembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi proponiamo due problemi sulle possibili combinazioni di colore tra fantasiosi camaleonti. Il problema 1 ha una funzione introduttiva al problema 2, che risulta più complesso. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio relativo ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
Camaleonti
1. Una colonia di camaleonti su un’isola è composta da 2 individui Blu, 5 Gialli e 3 Verdi. Quando due camaleonti di colori diversi si incontrano, entrambi diventano del terzo colore. Per esempio se si incontrano un camaleonte Verde e uno Giallo, entrambi diventano Blu. È possibile che tutti i camaleonti della colonia diventino Gialli?
2. Una colonia di camaleonti su un’isola è composta da 13 individui Verdi, 15 Blu e 17 Rossi. Quando due camaleonti di diversi colori si incontrano, entrambi cambiano il loro colore nel terzo colore. Per esempio se si incontrano un camaleonte Verde e uno Blu, entrambi diventano Rossi. È possibile che tutti i camaleonti della colonia alla fine abbiano lo stesso colore?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
Il problema 1 ha una funzione introduttiva al problema 2 che è apparso per la prima volta nel 1984 all’International Mathematics Tournament of the Towns. una competizione di matematica fondata nel 1980 in Russia che ora coinvolge studenti in più di 100 città e paesi in tutto il mondo. L’idea è quella di testare la creatività e l’ingegnosità, piuttosto che l’apprendimento meccanico.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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13 risposte
1 No…Non c’è corrispondenza biunivoca tra verdi e blu.
2 No
Ottimo, oggi pomeriggio le soluzioni
Problema 1. 2 blu incontrano 2 gialli e diventano verdi
3 verdi incontrano 3 gialli e diventano blu
Ora non ci sono più gialli ,ma solo 5 verdi e 5 blu.si incontrano fra loro e diventano tutti gialli.
No, dopo il secondo passo non rimangono 5 verdi e 5 blu, ma 4 verdi e 6 blu.
Problema 1. Affrontando la questione in modo analitico possiamo dire che ad ogni scontro blu-giallo i blu e i gialli diminuiscono di 1 e i verdi aumentano di 2. Applicando la regola alle tre possibili tipologie di scontro si ha:
Dati
v: N.scontri blu-giallo
b: N.scontri verde-giallo
g: N.scontri blu-verde
Si deve avere che
2-v-g+2b=0
5-v-b+2g=10
3-b-g+2v=0
Il suddetto sistema non ha soluzioni intere, pertanto non può mai succedere che si abbiano tutti camaleonti gialli.
Ma la soluzione più furba è quella di Marco Costantini : la differenza tra due colori è sempre costante in modulo 3, quindi la differenza tra blu e verdi, che è 1, non potrà mai annullarsi, dunque non c’è soluzione.
In alternativa, come osserva Fabio DF , la colonia potrebbe diventare tutta verde, visto che la differenza tra gialli e blu è divisibile per 3. Ad esempio con la sequenza di scontri da lui ben codificata: giallo contro verde (che porta la colonia a 4 blu, 4 gialli e 2 verdi) e poi 4 scontri blu contro gialli.
1. No. La differenza tra blu e verdi, modulo 3, è costante.
Poiché in origine non è 0, non può diventare 0, come sarebbe richiesto per arrivare a non avere più quei colori. A meno che qualcuno dei camaleonti non muoia: in natura può succedere.
Affinché tutti i camaleonti della colonia diventino gialli, deve accadere che, ad un certo punto, i camaleonti verdi e blu siano in numero uguale (ossia che la differenza tra i due numeri sia 0).
Ad ogni incontro tra due camaleonti, le differenze reciproche tra le tre popolazioni possono:
– rimanere inalterate
– diminuire di 3
– aumentare di 3
Affinché due popolazioni arrivino ad avere lo stesso numero, quindi, devono avere una differenza che sia un multiplo di 3.
Ma poiché i blu sono 2 ed i verdi sono 3, la loro differenza è 1, che non è multiplo di 3, per cui non potrà accadere che tutti i camaleonti diventino gialli.
E’ invece possibile che tutti i camaleonti diventino verdi, in quanto i blu sono 2 ed i gialli sono 5 (5-2=3).
Infatti, se consideriamo i seguenti incontri, avremo solo camaleonti verdi:
GV (B=4, G=4, V=2)
BG (B=3, G=3, V=4)
BG (B=2, G=2, V=6)
BG (B=1, G=1, V=8)
BG (B=0, G=0, V=10)
Problema 1.,No, non è possibile. Ma è possibile che tutti diventino verdi.
2. Utilizzando il metodo che mi ha fatto risolvere il problema 1, mi verrebbe da dire che ora la risposta è NO.
Ma è solo un’intuizione, giustificata dal fatto che ora il tot dei camaleonti è dispari (45).
La risposta è esatta, ma per la dimostrazione rinviamo a domani
1. Ad ogni passo, i due colori che si incontrano diminuiscono di una unità ciascuno, quindi la differenza di numero preesistente tra i due colori si mantiene inalterata. Il terzo colore, rispetto a ciascuno degli altri due, aumenta di 3. Venendo al primo problema, la differenza iniziale tra B e V è 1 (o -1). Questa può cambiare solo quando si aggiunge (o toglie) 3, diventando ad esempio 4, 7, 2, 5, ecc. ma mai un multiplo di 3, che sarebbe la condizione per terminare con tutti G.
Sarebbe invece possibile terminare con tutti V, dal momento che la differenza iniziale tra G e B è appunto 3 (o un suo multiplo), ad esempio in questo modo:
B G V
2 5 3, si incontrano G V
4 4 2, si incontrano B G
3 3 4, si incontrano B G
2 2 6, si incontrano B G
1 1 8, si incontrano B G
0 0 10
Stessa cosa (cioè non c’è soluzione) per il secondo problema dove le differenze iniziali sono 2 e 4.
1. Direi che la risposta è SI’.
Ci sono riuscito in 4 passaggi, partendo dai numeri dispari.
Ma ho l’impressione che si possa fare anche di meglio (meno passaggi)
Ottimo a domani per le soluzioni.