62. Soluzioni del 26 settembre 2022 – Camaleonti

Le soluzioni del 26 settembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri mattina abbiamo presentato due giochi sulle possibili combinazioni di colore tra fantasiosi camaleonti e di seguito pubblichiamo le soluzioni. 

Camaleonti – soluzioni 

1. Una colonia di camaleonti su un’isola è composta da 2 individui Blu, 5 Gialli e 3 Verdi. Quando due camaleonti di colori diversi si incontrano, entrambi diventano del terzo colore. Per esempio se si incontrano un camaleonte Verde e uno Giallo, entrambi diventano Blu. È possibile che tutti i camaleonti della colonia diventino Gialli?

1. SOLUZIONE. Ad ogni passo, i due colori che si incontrano diminuiscono di una unità ciascuno, quindi la differenza tra i due colori si mantiene inalterata. Il terzo colore, rispetto a ciascuno degli altri due, aumenta di 3. La differenza iniziale tra B e V è 1 oppure -1. Questa può cambiare solo quando si aggiunge (o toglie) 3, diventando ad esempio 4, 7, 2, 5, ecc. ma mai un multiplo di 3 e quindi azzerarsi, che sarebbe la condizione per terminare con tutti G.

Sarebbe invece possibile terminare con tutti V, dal momento che la differenza iniziale tra G e B è appunto 3 (o un suo multiplo), ad esempio con 5 incontri: Giallo + Verde = 2 Blu; a questo punto i 4 Blu incontrano uno a uno i 4 Gialli e tutti diventano Verdi. Riassumendo con una tabella.

In generale se la differenza tra i numeri di camaleonti di due colori è un multiplo di 3, allora tutti i camaleonti possono diventare del terzo colore. In questo caso la differenza tra Gialli e Blu è 3, infatti i camaleonti possono diventare tutti Verdi. Rimandiamo alla soluzione del secondo problema, la dimostrazione per cui non è possibile che, in questo caso, i camaleonti diventino tutti Blu oppure tutti Gialli.

2. Una colonia di camaleonti su un’isola è composta da 13 individui Verdi, 15 Blu e 17 Rossi. Quando due camaleonti di diversi colori si incontrano, entrambi cambiano il loro colore nel terzo colore. Per esempio se si incontrano un camaleonte Verde e uno Blu, entrambi diventano Rossi. È possibile che tutti i camaleonti della colonia alla fine abbiano lo stesso colore?

2. SOLUZIONE. Definiamo con V, B e R il numero di camaleonti rispettivamente Verdi, Blu e Rossi. Se il Verde incontra il Blu, entrambi diventeranno Rossi. In altre parole, il numero dei verdi diventa V – 1, il numero dei Blu diventa B – 1 e il numero dei Rossi diventa R + 2. Ora consideriamo cosa succede alla differenze tra il numero di ciascun colore: cosa succede a V – B, B – R o R – V quando due camaleonti si incontrano:

• V – B diventa:  V – 1 – (B -1) = V – B
• B – R diventa:  B – 1 – (R + 2) = B – R – 3
• R – V diventa: R + 2 – (V – 1) = R – V + 3

Quindi, dopo che due camaleonti si incontrano, la differenza tra due colori rimane la stessa oppure aumenta o diminuisce di 3. Se tutti i camaleonti nella colonia devono essere dello stesso colore, significa che il numero di camaleonti degli altri due colori dovrà essere zero, quindi V – B, B – R o R – V dovrà essere zero.

Nel nostro caso, 13 verdi, 15 blu e 17 rossi, la differenza tra Verdi e Blu è 2, tra Blu e Rossi è 2 e tra Rossi e Verdi è 4. Sappiamo che quando i camaleonti si incontrano, la differenza tra due colori qualsiasi rimane la stessa o cambia di 3. Possiamo dedurre che è impossibile che la differenza tra due colori qualsiasi diventi zero, poiché da 2 o da 4, aggiungendo o togliendo 3 non si può ottenere zero.

A lunedì prossimo.