127. Soluzioni del 15 luglio 2024 – L’istinto matematico
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I giochi del lunedì di Prisma dell’11 luglio 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi proponiamo quattro giochi tratti dal libro “Con la testa fra le nuvole?” sottotitolo “Il mestiere del matematico” di Angelo Guerraggio. ll testo affronta in modo brillante e chiaro la funzione del matematico, a partire da come viene spesso immaginato, distratto, sognatore, appunto con la testa fra le nuvole e ricordando che cosa fanno i matematici: risolvono problemi.
Con la testa fra le nuvole? Il mestiere del matematico
1. Il costo di un CD. Aldo vuole acquistare un CD, ma non ha molto denaro, in particolare gli mancano 47 euro. Carla ha più soldi di Aldo ma anche a lei, per lo stesso acquisto, mancano 2 euro. A questo punto decidono di mettere insieme i loro pochi soldi, sempre in numeri interi di euro, ma questo totale non è ancora sufficiente per l’acquisto. Quanto costa il CD in euro interi?
2. Due professori e una bidella. Prodotto e Somma sono due professori di matematica che insegnano nella stessa scuola. Una bidella si diverte a provocarli con problemi di calcolo. Una mattina, con aria maliziosa, la bidella dice ai due professori: “Ecco la somma delle età delle mie due figlie” e rivolgendosi al professor Somma gli consegna un foglietto che il collega non può vedere. “Ecco il prodotto delle stesse due età” continua porgendo un altro foglietto solo al professor Prodotto. “Adesso fate vedere che siete dei bravi matematici e calcolate le due età, sapendo che le due figlie hanno almeno un anno”.
“A me il prodotto non basta” risponde il professor Prodotto. “Anch’io non posso rispondere” dice il professor Somma. La bidella li esorta dicendo “Sarete due esimi docenti di matematica, ma in questo momento mi state deludendo perché avete le informazioni necessarie per la soluzione del problema”
“Adesso io lo so, le due età sono…” dice il professor Prodotto.
Quali sono le età delle due figlie della bidella?
3. Obiettivo: non perdere. A turno due giocatori prendono una delle nove tessere disposte su un tavolo e numerate da 1 a 9. Vince chi per primo raggiunge il valore 15 sommando tre delle sue tessere non necessariamente le prime.
Quale tessera dovrà prendere il secondo giocatore nella sua prima mossa per cercare di non perdere?
4. In bigiotteria. Il prezzo di tre anelli è uguale al prezzo di un braccialetto e quello di tre collane è uguale al prezzo di sette braccialetti. Se però si acquista un cofanetto di sette pezzi, che contiene almeno un anello, un braccialetto e una collana, si spenderanno 119 euro. Quanto costa una collana?
Aggiornamento per le soluzioni click qui
Questa settimana il blog I Giochi del Lunedì di Prisma compie un anno. E’ con soddisfazione e, lasciateci dire sommessamente, con una punta di orgoglio che ci accingiamo al questo primo giro di boa. Il ringraziamento va ai nostri lettori e autori per la loro partecipazione e per gli ottimi livelli raggiunti, sia nell’aspetto qualitativo che quantitativo.
I giochi, proposti oggi, sono tratti dal libro con titolo “Con la testa fra le nuvole?” e sottotitolo “Il mestiere del matematico” di Angelo Guerraggio, Società Editrice Il Mulino, Bologna, 2016. Un piccolo omaggio a Angelo Guerraggio che è stato il primo contatto con la rivista Prisma e ha permesso che tutto ciò accadesse.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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21 Responses
Problema 2: Le età sono 1 e 4 anni. Prodotto è incerto (1 e 4 oppure 2 e 2?) e anche Somma (1 e 4 oppure 2 e 3?). Prodotto, avendo saputo di tale incertezza, può escludere 2 e 2. Vediamo perché.
La somma sarebbe stata 4 e Somma avrebbe avuto inizialmente il dubbio “1 e 3 oppure 2 e 2?”, ma sentendo Prodotto nel dubbio avrebbe dovuto subito escludere 1 e 3 (che danno un prodotto di facile lettura) e dichiarare di aver capito. Così non è stato, Somma rimane incerto e allora prodotto esclude 2 e 2, dichiarando di aver capito.
Ottimo. Nel pomeriggio le soluzioni.
Le terne possibili sono otto: 1+5+9; 1+6+8; 2+4+9; 2+5+8; 2+6+7; 3+4+8; 3+5+7; 4+5+6. Ovviamente in nessuna terna v’è una coppia di numeri che si ripete.
Il numero che appare più frequentemente è 5 (quattro volte)
A seguire i numeri pari (tre volte ciascuno)
Ultimi i dispari diversi da 5 (due volte ciascuno)
Osservando le terne, queste son composte necessariamente di due numeri pari ed uno dispari (PPD), e sono sei, di cui due sono P5P; oppure di tre dispari (DDD), e sono due; quelle di tre dispari contengono necessariamente il 5 (D5D), e ciò perchè la somma di tre dei dispari diversi da 5 (sono 1, 3, 7 e 9) non dà mai 15.
Il primo giocatore sceglie il 5, assicurandosi così almeno quattro terne sulle otto possibili, di cui le due D5D e le due P5P. Il secondo giocatore sceglie un numero dispari e così facendo perde. Il primo giocatore, nella sua seconda mossa, sceglierà un numero pari, costringendo il secondo a sceglierne un altro pari per fermare la terna P5P. A questo punto il primo giocatore potrà prendere un secondo numero pari opportuno ottenendo (per la mossa successiva) una alternativa: realizzare la terna rimanente (delle due che ha già occupato) P5P oppure una delle terne PPD.
Per esempio (con “g” indico il giocatore) g1: 5; g2: 1 – g1: 2; g2: 8 (per fermare 5+2+8); g1: 4 e si predispone la possibilità nella mossa successiva di realizzare 5+4+6 oppure 4+2+9.
Perciò, per non perdere: se il primo giocatore sceglie 5 alla sua prima mossa, il secondo deve scegliere un numero pari.
Se il primo giocatore sceglie un qualsiasi altro numero, il secondo deve scegliere 5.
Scegliendo 5, blocca quattro terne, lasciandone all’avversario solo le rimanenti quattro. Se il primo giocatore ha scelto, nella sua prima mossa, un numero pari, per esso ha solo due terne possibili rimaste (la terza contiene il 5, già scelto dal secondo giocatore). A questo punto, qualsiasi terna il primo giocatore scelga di realizzare, al secondo giocatore basta scegliere il terzo numero.
Per esempio: g1: 2; g2: 5 – a questo punto g1 può tentare 2+6+7 o 2+4+9 (2+5+8 non è più possibile). Se g1 sceglie 6, g2 sceglierà 7; se g1 sceglie 4, g1 sceglierà 9. Ipotizzando g1 abbia scelto 6, a quel punto g2 sceglie 7 e blocca la seconda terna di 2 (2+6+7) ma anche la seconda del numero 6 (6+5+4 era già bloccata; ora è bloccata 6+2+7 e non rimane che 6+8+1). Ove g1 tentasse 6+8+1, g2 sceglierebbe il numero (8 od 1) non scelto da g1.
Ottimo. A domani per le soluzioni
Problema 3
Dopo aver riflettuto un po’ sul quesito, mi sono accorto che assomiglia molto al “tris”: il primo giocatore, scegliendo una tessera, piazza una O, mentre il secondo deve difendersi con delle X. In particolare, per il secondo giocatore la configurazione da evitare è quella del quadrato magico 3×3, in cui la somma di ogni riga, colonna o diagonale dà come risultato 15.
La scelta migliore per il primo giocatore è il 5, perché ha 4 modi diversi per arrivare a 10 e vincere la partita. Il secondo giocatore deve rispondere con un numero pari, perché nel quadrato magico i pari si trovano agli angoli e dopo il 5 sono i numeri “più forti” (hanno tre modi diversi per raggiungere 15, precisamente una diagonale, una riga e una colonna, mentre i dispari solo due modi, cioè una riga e una colonna) e riuscirà in questo modo a finire la partita in pareggio.
Nel caso in cui il primo giocatore non scelga il 5, la scelta migliore per il secondo giocatore è sempre il 5. Allego una foto del quadrato magico per rendere più chiaro il mio ragionamento.
Ottima dimostrazione
3A=B
3C=7B
Da cui C=7A
Se indico con m il numero di anelli, con n il numero di braccialetti e con p il numero di collane risulta:
m+n+p=7 (da cui m=7-n-p); (m, n, p)>0
mA+nB+pC=119
mA+3nA+7pA = 119
(7-n-p)A+3nA+7pA=119
7A-nA-pA+3nA+7pA=119
7A+2nA+6pA=119
(7+2n+6p)A=119=17×7
Poiché (n, p)>0, il fattore (7+2n+6p) non può valere 7 e quindi è 17, mentre A=7, da cui il prezzo della collana è C=49. [Per completezza, l’equazione diofantea 7+2n+6p=17, cioè 2n+6p=10, con (n, p)>0 ammette come unica soluzione (n, p)=(2, 1) e quindi m=4 (da m+n+p=7). Pertanto il cofanetto contiene 4 anelli, 2 braccialetti e una collana.]
Soluzione del problema 4
Perfetto.
Problema 1: chiamo A i soldi di Aldo, C i soldi di Carla e T il prezzo totale del CD.
A+47=T
C+2=T
Sommando le due equazioni:
A+C+49=2T
A+C=2T-49
Questa somma non è sufficiente per comprare il cd, quindi:
2T-49<T
T-49<0
T<49
Da cui T=48 perché con T=47 risulta che Aldo non abbia soldi, ma tutto il problema perderebbe di senso dato che A+C sarebbe uguale a C e dalla traccia possiamo supporre che Aldo abbia almeno un euro.
Ottimo
Per il problema 2 credo che senza un foglietto davanti non si possa rispondere: l’unica risposta che posso dare è che le figlie sono gemelle (se i professori all’inizio si trovano a risolvere X+Y=somma e XY=prodotto, con il dato che hanno le informazioni necessarie capiscono di essere in grado di rispondere e che quindi le loro equazioni hanno una sola incognita, cioè 2X=somma e X²=prodotto) e che non hanno 1 anno, altrimenti il professor Prodotto lo avrebbe capito subito, ma, se non ho tralasciato qualche informazione importante, potrebbero avere qualsiasi età.
Non proprio. A domani per le soluzioni.
Problema 4. Prezzo Collana =49.
Il cofanetto è composto da: 4 Anelli, 2 Braccialetti e 1 Collana
Ottimo.
Problema 2. Figlie gemelle di 2 anni
Non è così, poi lo dimostreremo…
Problema 1. Prezzo CD = 48€
Benissimo.
Benissimo. A domani per le soluzioni.
Benissimo. A domani per le soluzioni.