50. Giochi del 27 giugno 2022 – Quadrati, cerchi e intelligenze matematiche

I giochi del lunedì di Prisma del 27 giugno 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Oggi proponiamo un problema che ci permette di parlare delle intelligenze matematiche. Infatti, così come esistono le intelligenze multiple, si possono distinguere differenti forme di intelligenza matematica. Lo facciamo raccontando un esperimento condotto dal professor Eduardo Saenz de Cabezon insegnante di Matematica dell’Università la Rioja in Spagna. Invitiamo i lettori a presentaci osservazioni e differenti procedimenti di soluzione nello spazio riservato ai commenti. Domani pomeriggio alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre proposte di soluzione.

Quadrati, cerchi e intelligenze matematiche  

Il professore appese, sul tabellone degli annunci del Dipartimento di Scienze Matematiche, un foglio con il disegno seguente chiedendo di poter vedere la soluzione scritta.

Il problema non è particolarmente difficile, soprattutto per matematici di professione, ma è molto utile per riflettere sui modi di pensare e di affrontare i procedimenti, più o meno complessi, per la soluzione. Le risposte possibili sono tre e solo una è quella corretta: il perimetro è maggiore della circonferenza, la circonferenza è maggiore del perimetro o i due sono uguali. Ma questo non è un test,  facciamo matematica ricreativa e ciò che importa è il ragionamento e il divertimento. Come procedete?

Aggiornamento per le soluzioni click qui.


Il gioco presentato oggi è tratto, con opportune rielaborazioni, dal libro Intelligenza matematica di Eduardo Saenz de Cabezon. 

 

 

18 risposte

  1. Ottime e tante le proposte di soluzione. Vorrei segnalarne un paio che hanno fatto uso della trigonometria:
    Enrico Sintoni: “Chiamo P il punto di tangenza della circonferenza con il lato sinistro del quadrato. Se prendiamo il diametro orizzontale del cerchio (2r) e l’angolo T formato dalla diagonale e il segmento da T al vertice in alto a destra del quadrato, salta fuori che la mezza altezza del quadrato è h/2 = 2r sinT cosT e la base è b = 2r cos²T. Imponendo h = b ed escludendo il caso T = k*pi, si deduce cosT = 2 sinT. Usando poi cos²T + sin²T = 1 si deduce sinT = 1/sqrt(5) e cosT = 2/sqrt(5). Il perimetro del quadrato diventa quindi (32/5) r, mentre quello della circonferenza è 2 pi r, e il problema si riconduce a controllare che vale 32/5 > 2 pi, infatti il primo è 6.4 e il secondo 6.28(…). Seppur di poco, il perimetro del quadrato supera quello della circonferenza.”

    Andrea Frasca: “Lato del quadrato: 2r * sin(a) (Essendo una corda del cerchio, è uguale a due volte il raggio moltiplicato per il seno dell’angolo su cui insiste)
    Perimetro del quadrato: 8r * sin(a)
    Circonferenza: 2rπ
    Dobbiamo vedere se 2rπ > 8r * sin(a), da cui segue che il perimetro del quadrato è maggiore della circonferenza, solo se l’angolo su cui insiste la corda è maggiore di 45 gradi.
    L’angolo su cui insiste la corda è semplicemente l’angolo del triangolo isoscele “inscritto” nella circonferenza, la cui base è la corda stessa: quest’angolo non dipende dalla lunghezza del lato ed è sempre l’arcocoseno di 3/5, che corrisponde a circa 53 gradi.
    Segue che il perimetro del quadrato è maggiore della circonferenza!”

    Grazie per la partecipazione.

  2. Nel disegno, abbiamo che CH=KH/2 e quindi HL=CH/2=CH/4. Pertanto il perimetro del quadrato è 4 HK mentre la circonferenza è (5π/4)HK. Poiché π<3,2, il quadrato ha perimetro maggiore della lunghezza della circonferenza.

  3. È maggiore il perimetro del quadrato. Infatti posto L=lato quadrato, il diametro della circonferenza è D = L+X. Per il teorema delle corde:
    L:L/2=L/2:X -> X=L/4 ->
    D=5L/4=1,25*L
    Circonferenza= π*1,25*L
    Perimetro quadrato=4L
    Ma 1,25*π < 4
    quindi il perimetro del quadrato è maggiore

    1. Qui scritto per esteso. [ratio = CircumCerchio /CircumQuadrato = 1,25 pi / 4 =circa 1,019]: Quadrato, come scrivevo appunto ieri, è leggermente più “grande”.
      Scusate la derivazione lungha senza fare salti.

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