49. Giochi del 20 giugno 2022 – E’ tempo di esami

I Giochi del Lunedì di Prisma del 20 giugno 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Giugno è il mese degli esami e delle verifiche di fine anno scolastico e accademico. Oggi proponiamo due problemi relativi agli esami che presentano, in qualche modo, aspetti controintuitvi. Invitiamo i lettori a inviarci le loro osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai commenti. Alle ore 17.00 di domani pubblicheremo le soluzioni.

E’ tempo di esami 

1. Immaginate di dover affrontare un esame su un tema scelto tra un gruppo di 25 temi. Il giorno dell’esame estraggono tre numeri che corrispondono a 3 di essi. Dovete sceglierne uno da sviluppare per l’esame. Quanti temi dovete studiare per avere il 90% di probabiltà che vi tocchi almeno uno degli argomenti che avete studiato?

 

2. A un esame di Calcolo delle Probabilità, il professore presenta tre scatole chiuse identiche: una contiene due palline nere, un’altra due palline bianche e la terza una pallina bianca e una nera, come schematizzato in figura.  Viene scelta casualmente una scatola e senza guardare si preleva una pallina dal suo interno. La pallina risulta nera, qual è la probabilità che anche l’altra sia nera?

Aggiornamento per le soluzioni click qui.


I due giochi sono tratti e rielaborati dal libro Intelligenza matematica di Eduardo S. de Cabezon.

9 risposte

  1. 1. Le probabilità che un qualsiasi numero da 1 a 25 venga sorteggiato sono 3/25, ossia 0,12. Gli n numeri che contengono al 90% di probabilità uno dei tre numeri estratti saranno quindi 0,9 / 0,12 = 7,5. Quindi devo studiare almeno 8 temi.

    2. Il problema si potrebbe riformulare in questi termini: Viene scelta casualmente una scatola; qual è la probabilità che entrambe le palline al suo interno siano nere? La risposta è 1/3.

  2. Sia A l’estrazione della seconda biglia nera e B l’estrazione della prima biglia nera. La probabilità condizionata p(A|B) è pari al rapporto tra probabilità che entrambe le biglie estratte siano nere e la probabilità che la prima estratta sia nera. Con un diagramma ad albero si vede che la probabilità che entrambe siano nere è 1 su 3 (accade solo con una scatola su tre) mentre la probabilità che sia nera la prima è di 1 su 2, che si ottiene sommando 1/3 a 1/6 (quest’ultimo termine deriva dall’aver pescato la scatola mista (fattore moltiplicativo 1/3) e aver estratto la nera per prima (un caso su due)). Quindi p(A|B) = 1/3 / 1/2 = 2/3.
    Ho ottenuto il risultato anche con una simulazione Excel e con una tabella di confusione.

  3. La probabilità non va ovviamente calcolata rispetto alla condizione iniziale, perche’ il fatto che una delle palline estratte sia nera automaticamente fa sì che è come fossimo partiti SENZA la scatola con le due palline bianche. Dunque, la scatola estratta o è quella con due palline nere, o è quella con una nera ed una bianca, nel primo caso la seconda pallina sarà nera, nel secondo bianca. La probabilità cercata, dunque, e’ 1/2.

  4. 1. Trasformo il problema in uno equivalente ma che è più facile da visualizzare e affrontare. Considero quindi un’urna contenente 25 palline di cui 3 rosse e le altre nere. Quante estrazioni devo fare per avere il 90% di probabilità di estrarre almeno una pallina rossa?
    Quando c’è l'”almeno” di mezzo è sempre preferibile ragionare con la probabilità contraria, quindi il problema diventa: quante estrazioni devo fare per avere il 10% di probabilità di estrarre solo palline nere?
    Alla prima estrazione ho 22 palline nere su 25, quindi la probabilità è 22/25 = 0.88. Alla seconda ne ho 21/24 = 0.875 che moltiplicata per la precedente fa 0.77. Vado avanti e trovo che con 13 estrazioni la probabilità di avere pescato solo palline nere è 0,095652174, che è il valore prossimo al 10% che stavamo cercando.
    Tornando al problema originale, dobbiamo quindi studiare 13 temi per avere il 90% di probabilità che ci tocchi almeno uno degli argomenti che abbiamo studiato.

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