4. Giochi del 2 agosto 2021 – Probabilità e figlie di nome Wanda

I giochi del lunedì di Prisma 2 agosto 2021 a cura di Fabio Ciuffoli

Proponiamo cinque problemi, sotto forma di giochi e invitiamo i lettori a presentarci osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai commenti. Alle ore 17.00 di domani pubblicheremo le soluzioni.

Probabilità e figlie di nome Wanda

1. La signora Albi ha due figli, il più grande è una femmina. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?

2. La signora Bianchi ha due figli e almeno uno è femmina. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?

3. La signora Carli ha due figli e almeno uno è femmina nata di martedì. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?

4. La signora Dini ha due figli e almeno una è femmina nata il primo aprile. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?

5. La signora Ermeti ha due figli e almeno una è femmina di nome Wanda. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?

(Assumiamo che le signore Albi, Bianchi, Carli, Dini e Ermeti siano scelte casualmente dalla popolazione di famiglie con due figli e che la probabilità di nascere maschio o femmina sia 50/50, di nascere in qualsiasi giorno della settimana sia 1 su 7 e in qualsiasi giorno dell’anno sia 1 su 365, escludiamo gli anni bisestili).

Aggiornamento per le soluzioni click qui


I problemi di oggi fanno parte del calcolo della probabilità condizionata e presentano un particolare aspetto contro-intuitivo. Un’ottima trattazione si trova nel libro “I dadi giocano a Dio? La matematica dell’incertezza” di Ian Stewart. 

 

26 risposte

  1. Ecco la formula, che dà i tuoi stessi risultati.
    Definendo n il numero dei giorni della settimana in cui è nata, ad esempio nata di lunedì quindi n= 1; nata di lunedì o martedì n = 2 e via di seguiti fino a non nata di lunedì = 6 e anche, per verifica, nata in qualsiasi giorno della settimana quindi n = 7.

    Formula [2 * 7 * n – (n^2)] / [2 * 7 * n – (n^2) + 2 * 7 n]

    Applicazione al caso nata di lunedì quindi n = 1
    (14 – 1) / 13 + 14 = 13/27 = 48,15% com già noto.

    Caso nata di lunedì o martedì quindi n = 2
    24 / 52 = 46,15%


    Caso non nata di lunedì quindi n = 6
    48 / 132 = 36,36%.
    Se&o.

  2. Supponiamo che la 3 sia:
    La signora Carli ha due figli, almeno uno è femmina e NON è nata di martedì. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?

  3. 1) probabilità 1/2
    2) probabilità 1/3
    3) probabilità 1/21
    4) probabilità 1/1095
    5) probabilità 1/3

      1. I casi possibili sono 4 (M-W; W-M; FnonW-W; W-FnonW) da cui sembrerebbe che la probabilità che siano 2 femmine è 0,5

        1. Ma Wanda o non Wanda non è equiprobabile. Occorre ipotizzare quante Wanda ci sono ad esempio su 100 femmine…

  4. 1. Importante l’ordine di nascita FM diverso da MF. Due casi possibili FM FF. Probabilità 1/2
    2. non importante l’ordine. Tre casi possibili FF e FM MF probabilità 1/3
    3. Nel definire le coppie possibili diventa importante il fatto che della coppia FF faccia parte una femmina nata di martedi quindi tra i casi possibili consideriamo diversamente la coppia femmina-femmina in cui non ci sia la nata di martedi (6+5+4+3+2+1) da quella in cui c’è (7) oltre alle coppie MF e FM quindi i casi possibili 30 sono di cui favorevoli 7
    4.con ragionamento analogo i casi possibili sono 2 (FM, MF) + 364+ 363+…. +1)e tutte le coppie femmina femmina di cui favorevoli 364
    5.direi che i casi possibili sono WM FM MW MF WF FW FF probabilità 2/7

    1. Soluzioni 1 e 2 perfette. La 3 buona l’impostazione, ma i calcoli non sono conseguenti, così mi sembra anche per la 4 e la 5. A domani per le soluzioni

  5. 1. La signora Albi ha due figli, il più grande è una femmina. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?
    Per ipotesi la probabilità che un figlio sia femmina è 1/2=50%

    2. La signora Bianchi ha due figli e almeno uno è femmina. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?
    Questa volta vanno considerate le combinazioni dei sessi di due nati MM, MF, FM, FF
    Sapendo che almeno uno è femmina i casi sono 3 equiprobabili di cui 1 utile quindi 1/3=33,3%

    3. La signora Carli ha due figli e almeno uno è femmina nata di martedì. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?
    Dobbiamo considerare le combinazioni equiprobabili di 14 primogeniti: maschi o femmina nati in uno dei 7 giorni della settimana
    con altrettanti nati dopo. Di queste solo 14+13=4*7-1 contengono una femmina nata di martedì come prima o secondogenita
    Lo sono entrambe in 7+6=2*7-1 casi
    Dunque 13/27=48,1%

    4. La signora Dini ha due figli e almeno una è femmina nata il primo aprile. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?
    Con ragionamento analogo al precedente abbiamo 2*365-1=729 su 4*365-1=1459 cioè 49,966%

    5. La signora Ermeti ha due figli e almeno una è femmina di nome Wanda. Qual è la probabilità che entrambe siano femmine?
    Se entrambe sono femmine solo una delle due può chiamarsi Wanda per cui una si chiama Wanda con probabilità p e l’altra no con probabilità 1-p
    Sarà p/2*(1-p)/2 la probabilità di avere due femmine di cui una è Wanda
    mentre la probabilità di avere almeno una Wanda è p/4+(1-p)/4+p/2*(1-p)/2=1/4+p(1-p)/4
    La probabilità che entrambe siano femmine è p(1-p)/[1+p(1-p)]

  6. 1. Il 50%
    2. Il 50%
    3. Il 50% (martedì è un dato inutile per stabilire il genere e per il resto è uguale al precedente)
    4. Il 50% (primo aprile è un dato inutile per stabilire il genere e per il resto è uguale al precedente)
    5. Il 50% (il nome è un dato inutile per stabilire il genere e per il resto è uguale al precedente)
    (in tutti e cinque una è sicuramente femmina. L’altra ha il 50% di probabilità di essere femmina, e l’altro 50 di essere maschio).

  7. Le prime due domande hanno risposte intuitive e si possono illustrare facilmente con un disegno.
    Nella terza domanda viene aggiunto “nata di martedì”, apparentemente informazione irrilevante, ma destinata a cambiare decisamente le probabilità. Ricordo un colloquio con il prof. Enrico Giusti, ex direttore museo Archimede di Firenze, una decina o più di anni fa, entrambi stupiti e increduli dicevamo “basta aggiungere nata di martedì, ma anche di lunedì o un altro giorno e cambiano le probabilità!”. Da Pascal in poi, il calcolo delle probabilità non finisce di stupire.
    Nelle quarta e quinta domanda, il concetto viene ulteriormente estremizzato.

  8. Nei casi di 2 figli con probabilità uguale di nascere maschio o femmina la probabilità generale che si verifichino due femmine è di 1/4:
    MM MF FM FF

    Nei cinque casi specifici in cui l’unica informazione determinante è che UNO dei due figli è femmina, se condizioniamo la probabilità a questo parametro, la probabilità diventa di 1/3:
    MF FM FF

    Direi che tutte le altre informazioni sono ininfluenti.

    1. Ottima considerazione di partenza. Ma se il testo dice “la primogenita è femmina”, la situazione è diversa da “almeno uno dei due è femmina. Cambia il lo spazio delle combinazioni possibili.

  9. 1. Sono sicuro: 50%
    2. Ancora sicuro: 33%
    3. Non sono sicuro: circa 36%
    4. Non sono sicuro: circa 48%
    5 secondo me manca un dato, quante Wanda ci sono mediamente?

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