35. Giochi del 14 marzo 2022 – La Scuola di Leopoli

I Giochi del Lunedì di Prisma del 14 marzo 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

I due problemi che proponiamo oggi vogliono essere un omaggio a Leopoli, la città occidentale dell’Ucraina e Patrimonio dell’Umanità dell’UNESCO, che ha svolto un ruolo importante nella storia della matematica del XX secolo. Durante gli anni ’30, un importante gruppo di studiosi, tra cui Stefan Banach, Stanisław Ulam e Hugo Steinhaus, ha sviluppato nuove idee, metodi e teoremi sugli insiemi, la topologia e l’analisi matematica. La Scuola di Lwów, a quel tempo la città era in Polonia, è stata un circolo affiatato di logici e matematici. Questi amici avevano abitudini lavorative non convenzionali, trascorrevano gran parte del loro tempo nei caffè, in particolare nello Scottish Café, dove annotavano su un grosso quaderno problemi e soluzioni. Il cosiddetto “libro scozzese”, sopravvissuto indenne alla seconda guerra mondiale, è considerato tuttora un documento prezioso e alcuni dei suoi 200 problemi rimangono ancora aperti. 

La Scuola di Leopoli 

1. Tre amici contribuiscono ciascuno con 40 euro per comprare un formaggio da 120 euro. Il primo amico lo divide in tre parti, affermando che i pesi sono uguali. Il secondo amico, diffidente del primo, pesa di nuovo i pezzi e li giudica del valore di € 30, € 40 e € 50. Il terzo, diffidente nei confronti di entrambi, pesa il formaggio sulla propria bilancia, ottenendo un diverso risultato. Ogni amico sostiene che la sua pesata è corretta, come possono dividere i pezzi, senza tagliarli di nuovo, in modo tale che ciascuno possa ammettere di aver ricevuto almeno € 40 di formaggio?

 

2. Dieci rubini e quattordici diamanti sono incastonati, in ordine casuale, su una collana. Dimostrare che è possibile tagliare la collana in due punti, in modo che ognuno dei due pezzi abbia metà dei rubini e metà dei diamanti.

Aggiornamento per le soluzioni click qui 


Il primo problema è tratto da Cento Problemi di Matematica Elementare di Hugo Steinhaus, pubblicato nel 1938. Il secondo è tratto da Mathematical Puzzles di Peter Winkler, che fa riferimento al Teorema di Borsuk-Ulam e la bisezione di una collana.

10 risposte

  1. Ciascuno degli amici prende il pezzo di formaggio che ha giudicato più pesante: il secondo prende il pezzo a 50€, il terzo il pezzo che ha trovato di massima valore, diverso del resultato del secondo, e il primo il terzo pezzo, essendo che li ha giudicati uguali. Cosi ciascuno può ammettere che ha ricevuto almeno 40€ di formaggio.

  2. 1) Al primo tizio si dà il pezzo valutato dal secondo 30€, tanto per lui son tutti uguali.
    2) Il terzo sceglie il suo pezzo che, essendo il migliore dei due (o uguale) non potrà essere inferiore alla media.
    3) Il secondo prende ciò che resta che, per la sua valutazione, mal che vada gli vale 40€, ben che vada 50.
    4) Non faccio in tempo a rispondere (ma neanche a risolvere 😂) il secondo quesito!
    Riproverò (senza spoiler).

  3. Il terzo prende il pezzo che ritiene di valore massimo (sarà più di 40 euro).
    Il secondo quello che stima da 40 o quello che stima da 50 euro (qualunque dei due non sia stato preso dal terzo)(se entrambi sono disponibili, avendo il terzo attribuito valore massimo a quello stimato da 30 euro, uno qualunque dei due).
    Il primo il rimanente.

  4. 1. Il primo che dice di aver diviso in parti uguali può prendere il pezzo che il secondo crede valga 30€, il secondo prende il pezzo che vale 40€ secondo lui e il terzo prende il pezzo che il secondo crede valga 50€ perché è improbabile che sia potuto valere meno di 40€ con una rimisurazione.

    1. Bene, anche se non esaustiva la risposta per il caso del terzo amico. A domani per le soluzioni.

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