29. Giochi del 31 gennaio 2022 – Affidarsi agli occhi e affidarsi ai conti

I giochi del lunedì di Prisma del 31 gennaio 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Oggi proponiamo cinque giochi che prevedono diversi metodi per la soluzione, indicativamente un metodo privilegia l’approccio visivo e l’altro quello del calcolo. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio riservato ai commenti. Alle ore 17.00 di domani pubblicheremo le soluzioni con i procedimenti.

Affidarsi agli occhi e affidarsi ai conti 

1. ABC è un triangolo rettangolo dove l’ipotenusa AC è il diametro della circonferenza più grande. I cateti misurano 8 cm e 15 cm. Quanto vale la somma dei diametri delle due circonferenze?

2. L’area del quadrato è 225 cm2 divisa in nove quadratini uguali tra loro. La stella è stata costruita congiungendo i vertici del quadrato con i punti medi dei lati del quadratino centrale. Quanto vale l’area della stella?

 

3. Quanto vale l’area del quadrato grigio, sapendo che l’area del quadrato a puntini è un quarto dell’area del quadrato grande?

4. All’interno del quadrato in figura è stato disegnato un triangolo. Qual è il rapporto tra l’area del triangolo e l’area del quadrato?

 

5. Il puzzle, in figura a sinistra di chi legge, è stato costruito dividendo un quadrato di lato 24 cm con due segmenti perpendicolari tra loro e passanti per il centro del quadrato. I quattro pezzi del quadrato così ottenuti possono essere assemblati di nuovo per formare l’altro quadrato, con un buco nella regione centrale, a destra in figura. Quanto misura in cm il lato del nuovo quadrato?

Disegno non in scala

Aggiornamento per le soluzioni click qui


I giochi presentati oggi sono stati tratti da un articolo pubblicato sulla prima uscita di Prisma N. 1 ottobre 2018 e il conseguente dibattito e confronto.

27 risposte

  1. 1 Essendo l’ipotenusa del triangolo ABC il diametro del cerchio grande,applicando il teorema di Pitagora si ottiene 17 cm.
    A occhio il diametro del cerchio piccolo mi sembra che corrisponda alla metà del cateto più lungo…7.5cm.
    Somma dei diametri 24.5 cm.
    2 Ho calcolato il lato del quadrato..15 cmq,ho calcolato l’area della parte colorata…15×5÷2×4=150 cmq..infine
    225_150=75 cmq area della stella.
    3 Area del quadrato grande..225×4=900cmq
    Area del triangolino in alto,a destra,
    900÷18=50cmq
    Area del quadratino..50×4= 200cmq.
    4 Il rapporto è 3/8.
    5 17 _7=10cm
    10×10=100 cmq
    24 X 24= 576 cmq
    576+100=676
    Radice quadrata di 676…26 cmq

    1. Il primo non è corretto, gli altri vanno benissimo. Ricordo che per ogni problema ci sono due o più metodi di soluzione. A domani per le soluzioni

  2. Nel quesito 5 , prima calcolo i lati dei quadrilateri uguali della prima figura e trovo: 13; 13; 7; 17. Poi osservo che nella seconda figura il lato è ottenuto accostando due lati uguali “medi” dei quadrilateri: 13 +13 = 26.

  3. Soluzione “visiva” al quesito 4. Tracciando diagonali e assi dei lati, i due triangoli grigi che fanno parte della figura dall’area ricercata sono equivalenti ai due triangoli blu in basso a destra. L’area è quindi uguale al quadrato in basso a destra più metà quadrato in alto a sinistra(colorata anch’essa in blu): 1/4 Q + 1/8 Q = 3/8 Q. Il rapporto vale quindi 3/8.

    1. Con questa ultima correzione, è tutto perfetto. Hai utilizzato il metodo dei conti, se ha voglia gli stessi risultati li puoi ottenere utilizzando l’intuizione visiva, quasi senza far di conto. A domani per le soluzioni.

  4. 1) AC = sqrt(8^2+15^2) = 17 cm
    Area ABC = 8*16/2 = 60 cm^2
    Perimetro ABC = 15+8+17 = 40 cm
    Raggio cerchio piccolo = 60*2/40 = 3 cm
    Somma dei due diametri = 17 è 6 = 23 cm

    2) Area della stella = 225 – 4*(15*5)/2 = 75 cm^2

    3) Area quadrato grigio = (20*20)/2 = 200 cm^2

    4) Rapporto area triangolo/area quadrato = [L^2 – L^2(1/8+2*1/4)]/L^2 = 3/8

    5) ? = sqrt(24^2 + 7^2 ) 25 cm

  5. Quesito 1: AC²=AB²+BC² da cui AC=17 cm=diametro circonferenza circoscritta. L’area del triangolo vale 8×15/2 cm² = 60 cm². Suddividendo il triangolo in 3 triangolini con un lato uguale ad uno del triangolo di partenza e come terzo vertice il centro della circonferenza, si nota come la somma delle aree dei tre triangolini sia uguale a quella del triangolo di partenza. Si può facilmente calcolare r = raggio della circonferenza inscritta eguagliando la somma delle aree a 60 cm² e si ricava che r=3 cm da cui d=6 cm. La somma dei diametri vale in definitiva 17 cm + 6 cm = 23 cm.

    1. Bellissima dimostrazione. Se hai voglia e tempo puoi cercare anche un altro metodo, diciamo visivo, per arrivare al risultato.

  6. Per quanto riguarda il quesito 5, il quadratino al centro del quadrato di destra ha il lato che misura (17-7) cm, come si nota analizzando la disposizione dei lati dei quadrilateri a partire dalla figura a sinistra. L’area della figura a destra è dunque 100 cm² (area del quadratino al centro) + 576 cm² (area della figura a sinistra che è solo riorganizzata e dunque non cambia area) = 676 cm².

    1. Ottimo, anche se manca l’ultima operazione. Il problema chiede di calcolare il lato del nuovo quadrato.

  7. La mia soluzione al quesito 2 – tracciando le diagonali si nota che l’area della stella è 4 volte la differenza tra un qualsiasi triangolo rettangolo isoscele tracciato dalle diagonali (con area 1/4 del quadrato = 1/4 Q) e un qualsiasi triangolo isoscele che ha per base il lato del quadrato e per altezza 1/3 del lato.

  8. Credo che la risposta del terzo esercizio dipenda dall’angolazione del quadrato grigio, se è posizionato a 45° l’area vale 200 cm²

      1. Grazie mille! Chiedo scusa per il linguaggio poco formale dal punto di vista matematico ma ho scritto di fretta perché stavo per entrare a scuola!

    1. Quesito 4: l’area del triangolo interno è data dall’area del quadrato – (l’area del triangolo in alto a sinistra + l’area di quello a destra + l’area di quello in basso). Area del triangolo in alto a sinistra = 1/2 × 1/2 l × 1/2 l = 1/8 Q. Area del triangolo a destra = area del triangolo in basso = 1/2 × 1/2 l × l = 1/4 Q. La somma vale 5/8 Q e quindi l’area del triangolo interno vale Q – (5/8 Q) = 3/8 Q e il rapporto tra la sua area e quella del quadrato vale (3/8 Q)/Q = 3/8.

      1. Ottimo, c’è anche una dimostrazione grafica, senza fare “conti”. I Giochi di oggi, come suggerisce il titolo, vogliono evidenziare che sono possibili più metodi di soluzione.

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