18. Giochi dell’8 novembre 2021 – Una fiera di paese e una scacchiera quadrata

I giochi del lunedì di Prisma dell’8 novembre 2021 a cura di Fabio Ciuffoli 

Questa settimana proponiamo un gioco di strada che veniva praticato, e oggi viene rievocato, nelle fiere e sagre di paese. Formuliamo due domande e invitiamo i lettori a presentarci osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai commenti. Alle ore 17.00 di domani pubblicheremo le soluzioni. 

Una fiera di paese e una scacchiera quadrata

A una fiera di paese, i giocatori lanciano una monete su una larga scacchiera quadrata. Se la moneta si ferma sul bordo di una casella, il giocatore perde. Se la moneta rotola fuori dalla scacchiera viene restituita al giocatore. Se la moneta cade all’interno di una casella si restituisce la moneta al giocatore che vince anche un premio. I lati della scacchiera sono 60 cm e su ogni lato vi sono sei file larghe 10 cm ciascuna e la moneta ha un diametro di 6 cm.

1. Qual è la probabilità di vincere per un giocatore?

2. Un giocatore, dopo aver perso diverse volte, chiede: “Quale dimensione dovrebbe avere, il diametro della moneta, per rendere il gioco con una probabilità di vincita del 50%?”.

Aggiornamento per le soluzioni click qui


Questo gioco è stato presentato, in epoche diverse, in varie forme e modalità. Il testo, qui presentato, è tratto da Giochi logici e matematici di Fabio Ciuffoli. In copertina Fiera di San Martino di Giuseppe Boschetti. 

19 risposte

  1. Dalle proposte di soluzione scritte finora, emerge una duplice interpretazione del testo.
    1. La scacchiera è costruita a secco su un tavolo rialzato di lato 60 x 60, quindi se il centro della moneta viene a trovarsi fuori dalla scacchiera la moneta cade e il gioco finisce in parità;
    2. La scacchiera è disegnata, a livello del piano ad esempio su un banco o sulla strada, quindi con la presenza di bordi laterali e in questo caso, se il centro della moneta viene a trovarsi fuori dalla scacchiera, ma la copre anche solo in parte, il giocatore è perdente.
    Il caso 1 è stato prospettato da Nino mentre il caso 2 è stato prospettato da Giuseppe Roccasanta e da Salvatore. I risultati ovviamente sono diversi.
    Le interpretazioni sono entrambe accettabili. Nel pomeriggio di martedì le soluzioni.

    1. Puoi esporre, se ti va, il procedimento? Il secondo risultato va bene ma il primo non riesco a capire da quale procedimento deriva.

        1. Forse è un problema di scrittura della formula, ma non riesco a calcolare correttamente il tuo risultato

        2. Sorry, ora ho capito [4^2 / (100 – 4^2)] * 100 = 19,047619%, ma la formula corretta è: “area vincente” / “area totale” % . Nel pomeriggio le soluzioni argomentate.

          1. Esatto, oltre ad essere errata mancavano anche le parentesi XD

            La risoluzione del secondo quesito:
            L’area del quadrato interno e quella della cornice di ogni casella devono essere uguali (10^2/2)
            Lato quadrato interno =√50
            Diametro moneta =10-√50=~2,93 (2,92893219)

    1. Anche io ho fatto lo stesso schema (vedi disegno), considerando che l’area sfavorevole si estende per un raggio di larghezza oltre al quadrato, infatti quando il centro del cerchio è a distanza minore di un raggio dalla casella (quella sul bordo della scacchiera), il giocatore perde.

  2. Credo di avere fatto lo stesso ragionamento di Salvatore, perché ottengo lo stesso risultato:
    Perché la moneta cada dentro il quadrato o tocchi il bordo dello stesso, dobbiamo considerare che il centro della moneta cada dentro il quadrato oppure entro una fascia perimetrale che genera un quadrato con gli angoli arrotondati.
    Chiamiamo l il lato del singolo quadratino della scacchiera, n il numero di quadratini per ogni lato, e r il raggio della moneta.
    L’area di questa fascia perimetrale, detto r il raggio della moneta e l il lato del quadrato, sarà:
    ( 4 * ( l * n * r )) + ( r ^ 2 * π )
    L’area della scacchiera sarà:
    ( l * n ) ^ 2
    Perché la moneta cada dentro uno dei quadratini della scacchiera senza toccare il bordo bisogna che cada dentro un quadrato concentrico al quadratino della scacchiera la cui area è:
    ( l – ( 2 * r )) ^ 2
    Quindi l’area utile sarà:
    ( n ^ 2 ) * (( l – ( 2 * r )) ^ 2 )
    La probabilità dovrebbe essere data dall’area utile diviso l’area totale (area della scacchiera più la fascia perimetrale):

    ( n ^ 2 ) * (( l – ( 2 * r )) ^ 2 )
    ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
    (( l * n ) ^ 2 ) + ( 4 * ( l * n * r )) + ( r ^ 2 * π )

    Svolgendo con le misure indicate si ottiene una probabilità del:
    13,2466% circa

    Con lo stesso ragionamento per portare la probabilità al 50% dobbiamo porre che l’area utile sia uguale alla metà dell’area totale:
    ( 6 ^ 2 ) * (( 10 – ( 2 * r )) ^ 2 ) = ((( 10 * 6 ) ^ 2 ) + ( 4 * ( 10 * 6 * r )) + ( r ^ 2 * π )) / 2

    Volgendo in r e risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene un diametro di
    2,60 circa

    Se il diametro della moneta è uguale al lato del quadratino la probabilità è uguale a zero, o meglio un numero infinitamente piccolo in quanto ci sono solo 36 punti “vincenti”, i centri esatti dei quadratini della scacchiera, contro gli infiniti punti della scacchiera stessa.

    1. Se il diametro della moneta fosse 10 cm, uguale al lato del quadratino, la probabilità di vincita per il giocatore sarebbe uguale a zero, come da te indicato.

      1. Ho pensato così: il centro del cerchio può tracciare un quadrato 4 x 4 cm.
        Se il centro cade all’interno del quale, per ogni casella, si vince.

        Per perdere deve cadere non solo nella parte complementare della scacchiera, ma anche in un contorno largo 3 cm (raggio) con 4 settori circolari agli angoli a formare un cerchio di raggio r = 3 cm.
        Vedi disegno allegato, dove ho riprodotto una scacchiera 3 x 3, ovviamente nei calcoli l’ho allargata a 6 x 6.
        Il secondo ho calcolato con incognita r il rapporto tra area favorevole e area totale, ponendo questo rapporto uguale a 1/2, quindi ho risolto l’equazione di secondo grado in r.

      1. Anche per me l’altra soluzione, 9.40… cm è non impossibile, ma evidentemente da scartare (come qualsiasi diametro maggiore o uguale a quello della risposta 1).
        Ovviamente la mia precedente risposta è in cm

  3. 1) (10-6)^2/10^2 = 16%

    2) (10-d)^2 = 0,5*10^2 Da cui d^2-20d+50 = 0 e d=10-5sqrt(2) circa 2,9289 cm
    L’altra soluzione (17,071 cm) è chiaramente impossibile

    1. Bene, a domani per le soluzioni argomentate. Allora rilancio: “Se il diametro della moneta fosse 10 cm, uguale al lato della casella, quale sarebbe la probabilità di vincere del giocatore?”.

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