I Giochi del Lunedì di Prisma del 1° giugno 2026 a cura di Fabio Ciuffoli
Prendiamo spunto da una nuova scoperta, che fa risalire a 12.000 anni fa l’uso dei dadi più antichi del mondo, per tornare a parlare di probabilità (1).Si tratta di un argomento molto caro a matematici e logici e, sebbene già affrontato in molte delle sue forme, oggi proponiamo sei problemi nei quali intuizione e ragione entrano in conflitto. Questa collisione ci disorienta, come se un istinto tendesse a prevalere sulla ragione calcolante, suscitando stupore e meraviglia. Alcuni sono classici, molto noti, ma continuano a sorprenderci. In particolare il problema 3, Dilemma del mazzo, lo abbiamo proposto a ChatGPt e pur concordando con il LLM sull’aspetto teorico, abbiamo rilevato una persistente divergenza nella conclusione pratica. Forse – e questa è una ipotesi – il Modello è stato influenzato da problemi simili legati alla ricerca binaria adattiva. Ma lo vedremo meglio nelle soluzioni di martedì prossimo. Invitiamo i lettori a inviare osservazioni, proposte di soluzione e problemi analoghi utilizzando lo spazio dei commenti. Buon divertimento! Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
Probabilità controintuitive e LLM
1. Il collezionista. In media, quante volte è necessario lanciare un dado prima che tutti e sei i diversi numeri siano apparsi?
2. Cinque “testa” in fila. Quanti lanci di una moneta, in media, occorrono per ottenere una serie di cinque “testa” di seguito?
3. Dilemma del mazzo. Un tuo amico sceglie casualmente una carta da un mazzo standard di 52 carte e la tiene nascosta. Devi indovinare quale carta ha scelto. Prima di indovinare, puoi porre al tuo amico una delle seguenti tre domande:
Il tuo amico risponderà sinceramente. Quale domanda faresti per avere la maggior probabilità di indovinare la carta?
4. I passeggeri. Cento passeggeri sono in fila per salire a bordo di un aereo di linea completo, ma il primo passeggero ha perso la carta d’imbarco e prende un posto a caso. Ogni passeggero successivo prende il posto assegnatogli, se disponibile, altrimenti un posto non occupato a caso. Qual è la probabilità che l’ultimo passeggero a bordo trovi il suo posto occupato?
SUGGERIMENTO: Iniziare a risolvere con 2 o 3 o 4 passeggeri.
5. Tre persone. A tre persone viene consegnata una tessera per ciascuno di un diverso colore: bianca o rossa oppure gialla. Successivamente viene consegnata un’altra tessera per ciascuno, scelta in modo casuale, di colore bianco, rosso e giallo. Calcolare la probabilità di coincidenza del colore delle due tessere assegnate a ciascuna persona:
6. Ispirato dal problema di Monty Hall. Tre concorrenti Aldo, Bruno e Carlo partecipano a un gioco televisivo a premi in cui uno dei tre può vincere un’automobile. Il presentatore estrarrà casualmente da un’urna il nome del vincitore. Una volta che il presentatore ha estratto dall’urna il nome del vincitore, Aldo in preda a comprensibile ansia offre al presentatore un compenso per sapere chi tra Bruno e Carlo non sarà il vincitore. Il presentatore acconsente e rivela ad Aldo che Bruno non sarà il vincitore. A questo punto Aldo si rallegra e ricompensa il presentatore pensando che grazie all’informazione ricevuta la sua probabilità di vincere la macchina sia salita da 1/3 a ½. Aldo ha ragione a rallegrarsi? E quale sarebbe l’eventuale giusto compenso per il presentatore in euro sapendo che l’automobile ha un valore di 100.000 euro?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
Nell’immagine in evidenza: Wheel of life, H. G. Clarke & Co, London, ca 1870.
(1). La ricerca, a cura della Colorado State University, è stata pubblicata sulla rivista Amenrican Antiquity, aprile 2026.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
13 risposte
6.
Secondo me Aldo è un po’ confuso. Non si può aumentare la probabilità di vincere un’estrazione già avvenuta guadagnando soldi/macchine grazie alle risposte del presentatore (a meno che non si abbia la possibilità di cambiare la scelta in base alle nuove informazioni come nel Monty Hall originale). Dopo la risposta, per quello che sappiamo le probabilità sono 1/3 Aldo e 2/3 Carlo (è lui che dovrebbe rallegrarsi). La probabilità di Aldo sarebbe salita a 1/2 se avesse chiesto “Bruno ha vinto?” e il presentatore avesse risposto “No.”, ma sarebbero scese a 0 se avesse risposto “Sì”. In ogni caso, non potendo modificare l’estrazione iniziale, puoi chiedere quello che ti pare ma se non eri stato estratto prima o poi le tue probabilità scendono a 0.
Problema N. 6.
Siccome ci sarà sempre (qualunque cosa sia accaduta) un non-vincitore tra Bruno e Carlo, l’informazione richiesta e successivamente fornita dal presentatore (che potrà sempre essere una tra: “Bruno non sarà il vincitore” e “Carlo non sarà il vincitore”), per lo scopo di Aldo (rallegrarsi o meno), ha valore nullo.
Problema N. 5 Tre persone. Non e’ ben specificato se alla seconda estrazione le tessere nuovamente sono 3 di colori diversi fra loro o possono essere anche dello stesso colore (ad es i tre estraggono tutti 3 tessere bianche)
Caso 3 colori tutti diversi fra loro anche alla seconda estrazione
Probabilita’ che le due tessere siano uguali : 1/3 per ciascuno.
Eventi non indipendenti
G=GIUSTA,S=SBAGLIATA
Che tutti e 3 abbiano 2 tessere dello stesso colore
GGG 1/3!=1/6
GGS 0/6
GSS 3/6
SSS 2/6
_____________________
Caso con colori che possono ripetersi alla seconda estrazione
Che una persona riceva 2 tessere uguali 1/3 per ciascuno.
Eventi indipendenti,DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Che tutti e 3 abbiano 2 tessere dello stesso colore
GGG 1/3³=1/27
GGS 3*1/3²*2/3=6/27=2/9
GSS 3*1/3*(2/3)²=12/27=4/9
SSS (2/3)³=8/27
Seconda mia risposta.
QUESITO n. 5)
Se ai tre è stato dato un gettone B, R o S, le possibilità sono le seguenti:
GRB – RGB – GBR – BGR – RBG – BRG
Si vede subito che:
2° uguale al primo = 1/6
1 uguale e 2 diversi = 1/2
2 uguali e 1 diverso = 0
3 diversi = 1/3
QUESITO n.2)
I lanci medi per ottenere 5 TESTE consecutive sono: 62
Allego matrice di transizione di Markov
Comincio a rispondere a qualcuno:
QUESITO n.1)
Tirando un dado più volte, mediamente usciranno tutti i numeri in: 1/(6/6)+1/(5/6)+…+1/(2/6)+1/(1/6)= 14,7 lanci.
QUESITO n.4)
Su 100 passeggeri che si siedono casualmente la probabilità di trovare il posto occupato è 99/100. Se permutiamo tutti i 99 passeggeri + L posto libero, si hanno 100! configurazioni delle quali 99! contengono L. Quindi è libero 1/100 volte ed occupato 99/100.
ERRATA CORRIGE del QUESITO n. 4)
Avevo erroneamente letto che tutti si siedono casualmente, invece è solo il primo, gli altri se non trovano occupato il posto si siedono giusti…
Se si analizza il problema, il primo ha 3 possibilità: a) si siede correttamente, oppure b) occupa un altro posto dei 98 altri passeggeri, oppure c) occupa il posto dell’ultimo a salire.
Se capita a) allora p(ultimo)=1
Se capita b) allora p(ultimo)=1/2
Se capita c) allora p(ultimo)=0
Tirando le somme: 1/100*1+98/100*1/2+1/100*0=1/2
P5. No, Aldo prende un enorme abbaglio a rallegrarsi, e il giusto compenso da dare al presentatore è esattamente 0 euro.
Questa risposta è ovviamente riferita al sesto problema P6.
Ottimo Sergio, come ci hai ormai abituato… tks ciao
P5. Le probabilità di coincidenza del colore delle due tessere assegnate a ciascuna persona, se ho calcolato bene, sono:
• Tre giuste: 1/6 (circa 16.6%)
• Una giusta e due sbagliate: 1/2 (50%)
• Due giuste e una sbagliata: 0 (0%)
• Tre sbagliate: 1/3 (circa 33.3%)
P4. La risposta è esattamente il 50% (o 1/2), indipendentemente che i passeggeri siano 100, 1000 o un milione.
P3. Qualsiasi domanda scelga, la probabilità complessiva calcolata di indovinare la carta rimarrà sempre esattamente di 1 su 26 (circa il 3.84%) in tutti e tre i casi. Quindi la risposta sarebbe la qualunque!?!
P2. Occorrono 62 lanci per ottenere cinque “testa” consecutive, ottenuto calcolando il valore atteso passo dopo passo, e tenendo conto che ogni volta che esce “croce” si ritorna inesorabilmente alla linea di partenza. In media, per 1 “testa” occorrono E(1)=2^1 lanci e per n “teste” di fila serve un numero atteso di lanci dato da E(n)=E(n-1)+2^n.
P1. Il numero totale atteso di lanci (E) è semplicemente la somma delle aspettative di ciascuna fase di lanci. Formalmente, possiamo esprimerlo con questa espressione: E = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3+ 6/2+ 6/1 = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 = 14.7 in media, è necessario lanciare il dado 14.7 volte (quindi, all’atto pratico, tra le 14 e le 15 volte) prima di veder comparire tutte e sei le facce.
Tutto questo perché
• Al primo lancio, qualsiasi faccia uscirà sarà un numero mai visto. La probabilità è del 100%. Numero atteso di lanci: 1.
• Ora hai 5 facce utili su 6. Il numero atteso di lanci per ottenere un successo è sempre l’inverso della probabilità. Quindi, 6/5. Numero atteso: 1.2 lanci.
• Hai 4 facce utili su 6. Numero atteso: 1.5 lanci.
• Hai 3 facce utili su 6 (esattamente la metà). Numero atteso: 2 lanci.
• Mancano solo due numeri, hai 2 facce utili su 6. Numero atteso: 3 lanci.
• Infine, manca un solo numero, quindi hai una sola possibilità su 6 ad ogni lancio. In media, dovrai lanciare il dado ben 6 volte solo per ottenere quest’ultimo risultato finale.