115. Giochi del 29 gennaio 2024 – Equilibrio di impresa: massimizzare ricavi e profitti

I Giochi del Lunedì di Prisma del 29 gennaio 2024 a cura di Fabio Ciuffoli

Questa settimana presentiamo tre problemi sull’equilibrio di impresa e la massimizzazione dei ricavi e dei profitti, in condizioni di concorrenza perfetta e di mercato monopolistico. Questi esercizi faranno felici, così almeno ci auguriamo,  chi ha studiato, studia ancora e ama l’economia politica. E tra questi ci sono anche io. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione, utilizzando lo spazio relativo ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.

Equilibrio di impresa: massimizzare ricavi e profitti

1. Un negozio vende 50 kg di lamponi a settimana a € 25 al kg. Alcune ricerche di mercato indicano che per ogni riduzione del prezzo di € 2 al kg, la quantità venduta aumenterà di 5 kg a settimana. Quale dovrebbe essere il prezzo al kg per massimizzare i ricavi settimanali?

 

2. Un imprenditore produce farine alimentari. Il costo per materia prima e lavorazione è di € 32 al quintale, la spesa fissa mensile è di € 12.600. Determinare la quantità minima che deve produrre mensilmente per non essere in perdita (quantità di equilibrio) e la quantità che permette il massimo utile, ipotizzando che ogni quantità prodotta sia venduta, nei due casi seguenti:

A. L’imprenditore opera in un mercato di concorrenza perfetta e vende il suo prodotto a € 52 al quintale;

B. L’imprenditore si trova in posizione monopolistica e la domanda in quintali è espressa dalla relazione q = 4.000 – 50p dove q è la quantità prodotta e venduta e p è il prezzo di vendita.

 

3. Un’impresa sostiene per la produzione di una merce: un costo fisso mensile di € 18.000; un costo per unità prodotta di € 160: un costo per la manutenzione degli impianti pari al 5% del quadrato del numero di unità prodotte. Vende la merce prodotta in condizioni di monopolio e la domanda è espressa dalla funzione: q = 4.000 – 10p dove q è la quantità prodotta e venduta e p è il prezzo di vendita. Determinare:

  • A. la quantità da produrre e vendere di equilibrio con la quale i ricavi sono pari ai costi;
  • B. la quantità da produrre e vendere per ottenere il massimo ricavo;
  • C. la quantità da produrre e vendere per ottenere il massimo l’utile;
  • D. la quantità di prodotti che permette il costo medio minimo.

Aggiornamento per le soluzioni click qui.


I problemi sono tratti e rielaborati da libri di testo di Economia Politica per le scuole superiori e l’università.

 

 

18 risposte

  1. Problema 1. R (t) =(50 + 5t)(25-2t)=1250 + 125t -100t -10t^2 = 1250 +25t -10t^2
    R'(t)=(25 -20t) -> R'(t*)=0 t* =25/20 = 1,25
    Rmax(t*) = 1250 + 25^2/20 -10(25/20)^2 = 1250 + 625/20 – 6250/400 = 1250 + 31,25 – 15,625 = 1250 + 15,625 = 1265,625 euro settimanali
    Ovvero vendere 50 + 5t* = 50 +5×1,25 = 50 + 6,25 = 56,25 kg di lamponi settimanali
    Al prezzo di 25 – 2t* = 25 – 2×1,25 = 22,5 € al kg

  2. R₁=25•50=1250 €
    Rₓ=(25-2x)(50+5x);
    R’ₓ=-2(50+5x)+5(25-2x);
    R’ₓ=0 → R(max);
    -2(50+5x)+5(25-2x)=0;
    -100-10x+125-10x=0;
    20x=25;
    x=25/20=5/4
    R(max)=(25-5/2)(50+25/4)=(45/2)(225/4)=22,5•56,25=1265,625 €
    Ricavo massimo con un incremento settimanale di 15,625 € a fronte di una riduzione del prezzo al kg di € 2,5 con un prezzo unitario fissato a 22,5 €/kg.

  3. Quesito 3.
    I procedimenti dovrebbero essere gli stessi dei quesiti 1. e 2., con l’aggiunta di considerare in più un costo funzione del quadrato.

    Risposte:
    A. Le quantità di equilibrio (per cui Utile=0, cioè Ricavi=Costi) sono 79 e 1521

    B. Ricavo massimo si ha per q=2000

    C. Utile massimo per q=800 (del resto è la media dei valori in A.)

    D. Costo medio minimo per q=600

  4. Da Claudio Bisceglie:
    Rs = Ricavo settimanale
    Dp = variazione di prezzo unitario.
    Rs = (50+5*Dp/2)*(25-Dp)
    Dp1 e Dp2 zeri della parabola:
    dal primo fattore = 0 si ha Dp1 = -20€/kg
    dal secondo fattore = 0 si ha Dp2 = 25€/kg
    Il vertice della parabola si ha nel valor medio degli zeri
    Dpmax = (Dp1+Dp2)/2= 5/2 = 2,5€/kg
    sostituendo Dpmax nella Rs
    Rs = 1265,625€/sett

  5. Ciao! Problema 1) sono andato a logica e non mi sono perso in calcoli e formule matematiche di cui non capisco nulla! Per me il massimo profitto si ha con € 23/kg e 55 mesi kg di lamponi! Anche perché scendendo a 21€/kg e 60 kg di lamponi il valore sarebbe più basso e così via scendendo il prezzo e aumentando la qualità i valori scendono!!

    1. Ottimo ragionamento e approccio empirico. Si può migliorare in precisione. Oggi pomeriggio le soluzioni con dimostrazione.

  6. Nicola Fusco ha detto: Problema 1.Detta Q la quantità di lamponi (in kg) al settimana, e P il prezzo di vendita al kg, possiamo scrivere
    Q = 50+(5/2)(25-P) = 225/2-(5/2)P
    Il ricavo settimanale R è QP, quindi
    R = (225/2)P – (5/2)P^2
    È una funzione paraboloca, quindi il ricavo massimo è in corrispondenza del vertice
    Pmax = 45/2 = 22.5 euro al kg

  7. Da Giacomo Rocco.Problema 1. Io farei per tentativi. Implementando in un figlio excel ad esempio ricavo che il massimo ricavo si ha per un prezzo di 30€/kg con una vendita di 75 kg.
    €/kg kg Ricavo(€)
    50 25 1250
    48 30 1440
    46 35 1610
    44 40 1760
    42 45 1890
    40 50 2000
    38 55 2090
    36 60 2160
    34 65 2210
    32 70 2240
    30 75 2250
    28 80 2240
    26 85 2210
    24 90 2160
    22 95 2090
    20 100 2000
    18 105 1890
    16 110 1760
    14 115 1610
    12 120 1440
    10 125 1250
    8 130 1040
    6 135 810
    4 140 560
    2 145 290
    Il problema è risolvibile analiticamente con un’equazione….e trovando il massimo della funzione,
    x peso in kg
    prezzo di vendita risulta 25 + 5*(50-x)/2)
    y ricavo
    y = x *[25 + 5*[50 – x)/2]= -5/2x^2 + 25X + 125X
    La funzione si massimizza per
    y’=-5x + 150 = 0
    5x = 150
    x =30.

  8. Da Nicola Fusco: Problema 2B. L’utile è U = qp – 32q – 12600 = -50p^2 + 5600p – 140600
    che è positivo se p è compreso tra 38 e 74, quindi q compreso tra 300 e 2100.
    Essendo una parabola il massimo utile si ha in corrispondenza del vertice, che è a metà strada tra i due zeri, quindi per p = 56, in corrispondenza del quale q = 1200.
    Tuttavia osservo che il quesito così come formulato ha poco senso, perché un’azienda può decidere il prezzo di vendita del proprio prodotto e non quanto prodotto venderà. Quindi ha senso chiedere (ma questo non cambierebbe il procedimento risolutivo tranne per il fatto che dovrebbe essere modellizzata anche la perdita per l’eleventuale invenduto deperibile) quale prezzo permette la parità di bilancio e quale prezzo permette il massimo utile, non le quantità da produrre per i due obiettivi.

  9. Quesito 2.A.
    Si può determinare la quantità di equilibrio, pari a: 630 quintali

    Quesito 2.B.
    Con considerazioni analoghe a quanto detto per il Quesito 1, si può determinare:
    Quantità di Massimo Utile = 2016 quintali

    Quantità minima. Mi vengono due risultati (zeri della relazione “Utile”): 198 e 3834 quintali.
    Mi sembrano accettabili entrambi. Ho sbagliato qualcosa? 🙂

      1. Vero!
        …avevo scambiato le due variabili mentre riportavo la relazione in regime monopolistico.
        Adesso mi vengono i risultati già inviati da Nicola Fusco.
        Ora ci provo col quesito 3

  10. Quesito 1.
    Pongo R il ricavo, sarà R=Q*P, ove Q è la quantità in kg e P è il prezzo in €/kg.
    La relazione data dal problema è:
    R=(50+5x)*(25-2x)
    Questa esprime una parabola con concavità in basso (-10x^2+ 25x+1250) il cui massimo è in:
    -b/2a = 1,25

    Bisogna quindi ipotizzare che le riduzioni di prezzo => aumento di volume venduto possano variare in modo continuo (numeri reali) e non solo in modo discreto (come sembrerebbe ad una prima lettura).
    Quindi il Ricavo sarà massimo ed uguale a 1265,625€, per un prezzo di 56,25€/kg ed una quantità di 22,5kg.

    Altrimenti, ipotizzando incrementi “a blocchi unitari”, si massimizza con un prezzo di 55€/kg e quantità di 23kg.
    Ricavo = 1265€

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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.

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