127. Soluzioni del 15 luglio 2024 – L’istinto matematico
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I Giochi del Lunedì di Prisma del 29 gennaio 2024 a cura di Fabio Ciuffoli
Questa settimana presentiamo tre problemi sull’equilibrio di impresa e la massimizzazione dei ricavi e dei profitti, in condizioni di concorrenza perfetta e di mercato monopolistico. Questi esercizi faranno felici, così almeno ci auguriamo, chi ha studiato, studia ancora e ama l’economia politica. E tra questi ci sono anche io. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione, utilizzando lo spazio relativo ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
Equilibrio di impresa: massimizzare ricavi e profitti
1. Un negozio vende 50 kg di lamponi a settimana a € 25 al kg. Alcune ricerche di mercato indicano che per ogni riduzione del prezzo di € 2 al kg, la quantità venduta aumenterà di 5 kg a settimana. Quale dovrebbe essere il prezzo al kg per massimizzare i ricavi settimanali?
2. Un imprenditore produce farine alimentari. Il costo per materia prima e lavorazione è di € 32 al quintale, la spesa fissa mensile è di € 12.600. Determinare la quantità minima che deve produrre mensilmente per non essere in perdita (quantità di equilibrio) e la quantità che permette il massimo utile, ipotizzando che ogni quantità prodotta sia venduta, nei due casi seguenti:
A. L’imprenditore opera in un mercato di concorrenza perfetta e vende il suo prodotto a € 52 al quintale;
B. L’imprenditore si trova in posizione monopolistica e la domanda in quintali è espressa dalla relazione q = 4.000 – 50p dove q è la quantità prodotta e venduta e p è il prezzo di vendita.
3. Un’impresa sostiene per la produzione di una merce: un costo fisso mensile di € 18.000; un costo per unità prodotta di € 160: un costo per la manutenzione degli impianti pari al 5% del quadrato del numero di unità prodotte. Vende la merce prodotta in condizioni di monopolio e la domanda è espressa dalla funzione: q = 4.000 – 10p dove q è la quantità prodotta e venduta e p è il prezzo di vendita. Determinare:
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I problemi sono tratti e rielaborati da libri di testo di Economia Politica per le scuole superiori e l’università.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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15 Responses
Problema 1. R (t) =(50 + 5t)(25-2t)=1250 + 125t -100t -10t^2 = 1250 +25t -10t^2
R'(t)=(25 -20t) -> R'(t*)=0 t* =25/20 = 1,25
Rmax(t*) = 1250 + 25^2/20 -10(25/20)^2 = 1250 + 625/20 – 6250/400 = 1250 + 31,25 – 15,625 = 1250 + 15,625 = 1265,625 euro settimanali
Ovvero vendere 50 + 5t* = 50 +5×1,25 = 50 + 6,25 = 56,25 kg di lamponi settimanali
Al prezzo di 25 – 2t* = 25 – 2×1,25 = 22,5 € al kg
R₁=25•50=1250 €
Rₓ=(25-2x)(50+5x);
R’ₓ=-2(50+5x)+5(25-2x);
R’ₓ=0 → R(max);
-2(50+5x)+5(25-2x)=0;
-100-10x+125-10x=0;
20x=25;
x=25/20=5/4
R(max)=(25-5/2)(50+25/4)=(45/2)(225/4)=22,5•56,25=1265,625 €
Ricavo massimo con un incremento settimanale di 15,625 € a fronte di una riduzione del prezzo al kg di € 2,5 con un prezzo unitario fissato a 22,5 €/kg.
Quesito 3.
I procedimenti dovrebbero essere gli stessi dei quesiti 1. e 2., con l’aggiunta di considerare in più un costo funzione del quadrato.
Risposte:
A. Le quantità di equilibrio (per cui Utile=0, cioè Ricavi=Costi) sono 79 e 1521
B. Ricavo massimo si ha per q=2000
C. Utile massimo per q=800 (del resto è la media dei valori in A.)
D. Costo medio minimo per q=600
Perfetto.
Da Claudio Bisceglie:
Rs = Ricavo settimanale
Dp = variazione di prezzo unitario.
Rs = (50+5*Dp/2)*(25-Dp)
Dp1 e Dp2 zeri della parabola:
dal primo fattore = 0 si ha Dp1 = -20€/kg
dal secondo fattore = 0 si ha Dp2 = 25€/kg
Il vertice della parabola si ha nel valor medio degli zeri
Dpmax = (Dp1+Dp2)/2= 5/2 = 2,5€/kg
sostituendo Dpmax nella Rs
Rs = 1265,625€/sett
Ciao! Problema 1) sono andato a logica e non mi sono perso in calcoli e formule matematiche di cui non capisco nulla! Per me il massimo profitto si ha con € 23/kg e 55 mesi kg di lamponi! Anche perché scendendo a 21€/kg e 60 kg di lamponi il valore sarebbe più basso e così via scendendo il prezzo e aumentando la qualità i valori scendono!!
Ottimo ragionamento e approccio empirico. Si può migliorare in precisione. Oggi pomeriggio le soluzioni con dimostrazione.
Nicola Fusco ha detto: Problema 1.Detta Q la quantità di lamponi (in kg) al settimana, e P il prezzo di vendita al kg, possiamo scrivere
Q = 50+(5/2)(25-P) = 225/2-(5/2)P
Il ricavo settimanale R è QP, quindi
R = (225/2)P – (5/2)P^2
È una funzione paraboloca, quindi il ricavo massimo è in corrispondenza del vertice
Pmax = 45/2 = 22.5 euro al kg
Da Giacomo Rocco.Problema 1. Io farei per tentativi. Implementando in un figlio excel ad esempio ricavo che il massimo ricavo si ha per un prezzo di 30€/kg con una vendita di 75 kg.
€/kg kg Ricavo(€)
50 25 1250
48 30 1440
46 35 1610
44 40 1760
42 45 1890
40 50 2000
38 55 2090
36 60 2160
34 65 2210
32 70 2240
30 75 2250
28 80 2240
26 85 2210
24 90 2160
22 95 2090
20 100 2000
18 105 1890
16 110 1760
14 115 1610
12 120 1440
10 125 1250
8 130 1040
6 135 810
4 140 560
2 145 290
Il problema è risolvibile analiticamente con un’equazione….e trovando il massimo della funzione,
x peso in kg
prezzo di vendita risulta 25 + 5*(50-x)/2)
y ricavo
y = x *[25 + 5*[50 – x)/2]= -5/2x^2 + 25X + 125X
La funzione si massimizza per
y’=-5x + 150 = 0
5x = 150
x =30.
Da Nicola Fusco: Problema 2B. L’utile è U = qp – 32q – 12600 = -50p^2 + 5600p – 140600
che è positivo se p è compreso tra 38 e 74, quindi q compreso tra 300 e 2100.
Essendo una parabola il massimo utile si ha in corrispondenza del vertice, che è a metà strada tra i due zeri, quindi per p = 56, in corrispondenza del quale q = 1200.
Tuttavia osservo che il quesito così come formulato ha poco senso, perché un’azienda può decidere il prezzo di vendita del proprio prodotto e non quanto prodotto venderà. Quindi ha senso chiedere (ma questo non cambierebbe il procedimento risolutivo tranne per il fatto che dovrebbe essere modellizzata anche la perdita per l’eleventuale invenduto deperibile) quale prezzo permette la parità di bilancio e quale prezzo permette il massimo utile, non le quantità da produrre per i due obiettivi.
Quesito 2.A.
Si può determinare la quantità di equilibrio, pari a: 630 quintali
Quesito 2.B.
Con considerazioni analoghe a quanto detto per il Quesito 1, si può determinare:
Quantità di Massimo Utile = 2016 quintali
Quantità minima. Mi vengono due risultati (zeri della relazione “Utile”): 198 e 3834 quintali.
Mi sembrano accettabili entrambi. Ho sbagliato qualcosa? 🙂
Ho risultati diversi… a domani per un confronto.
Vero!
…avevo scambiato le due variabili mentre riportavo la relazione in regime monopolistico.
Adesso mi vengono i risultati già inviati da Nicola Fusco.
Ora ci provo col quesito 3
Quesito 1.
Pongo R il ricavo, sarà R=Q*P, ove Q è la quantità in kg e P è il prezzo in €/kg.
La relazione data dal problema è:
R=(50+5x)*(25-2x)
Questa esprime una parabola con concavità in basso (-10x^2+ 25x+1250) il cui massimo è in:
-b/2a = 1,25
Bisogna quindi ipotizzare che le riduzioni di prezzo => aumento di volume venduto possano variare in modo continuo (numeri reali) e non solo in modo discreto (come sembrerebbe ad una prima lettura).
Quindi il Ricavo sarà massimo ed uguale a 1265,625€, per un prezzo di 56,25€/kg ed una quantità di 22,5kg.
Altrimenti, ipotizzando incrementi “a blocchi unitari”, si massimizza con un prezzo di 55€/kg e quantità di 23kg.
Ricavo = 1265€
Perfetto, avanti così anche per gli altri problemi. A domani per le soluzioni con tt le dimostrazioni.