13. Giochi del 4 ottobre 2021 – Elezioni, voti disgiunti e duelli a tre

I giochi del lunedì di Prisma del 4 ottobre 2021  a  cura di Fabio Ciuffoli

Questa settimana si vota per le elezioni amministrative in diversi comuni capoluogo di provincia e regione. Prendendo spunto dalle sfide elettorali, proponiamo due problemi: il primo di probabilità sul voto disgiunto; il secondo di strategia su un duello a tre con finale a sorpresa. Invitiamo i lettori a presentarci osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai commenti. Alle ore 17.00 di domani pubblicheremo le soluzioni. 

Elezioni, voti disgiunti e duelli a tre

1. Voti disgiunti. In un Comune con 100.000 elettori, 60.000 hanno votato la lista liberale, mentre gli altri hanno votato la lista democratica. Inoltre, poiché è possibile il voto disgiunto tra lista e candidato sindaco, 6.000 elettori liberali hanno dato la loro preferenza al candidato sindaco democratico e 5.000 elettori democratici hanno votato il candidato sindaco liberale. Se scegliamo a caso un elettore che ha votato il candidato sindaco liberale, qual è la probabilità che si tratti di un democratico?

 

2. Duello a tre. Tre avversari: Ascani, Brunetti e Colli, sono impegnati in un duello a tre. Ogni avversario ha un colpo a disposizione: prima Ascani, poi Brunetti ed infine Colli. Terminato il primo turno, i sopravvissuti hanno diritto ad ulteriori colpi nella stessa sequenza. Per ogni sfidante il miglior risultato è essere l’unico sopravvissuto. Il secondo miglior risultato è di essere uno dei due sopravvissuti. Il terzo risultato è rappresentato dalla possibilità che nessuno muoia. Il peggiore è sicuramente quello di venire uccisi.

Si sa che: Ascani non è un buon tiratore e ha soltanto il 30% di possibilità di colpire la persona a cui mira; Brunetti tira molto meglio raggiungendo una precisione dell’80%; Colli è un tiratore nato non sbaglia mai un colpo.

  • Qual è la miglior strategia di Ascani nel primo turno?
  • Chi ha la maggior possibilità di sopravvivenza e quali sono le probabilità di ciascuno di sopravvivere?

Aggiornamento per le soluzioni click qui


Il problema del voto disgiunto riguarda il calcolo applicato delle probabilità. Il duello a tre è stato trattato da Martin Gardner in Enigmi e Giochi Matematici e si trova, in diverse versioni, nei libri di Teoria dei Giochi. Ha fornito spunti per ottime produzioni cinematografiche tra cui “Il buono, il brutto, il cattivo” di Sergio Leone e “Duello a tre” di Roland Klick. 

9 risposte

  1. Ad Ascani al primo turno conviene sparare in aria. Brunetti è obbligato a sparare a Colli (altrimenti Colli poi lo colpirebbe certamente) e per l’80% lo uccide. Segue un duello Ascani-Brunetti, con probabilità finale di sopravvivere per Ascani del 27,9069767% e di Brunetti del 52,0930233%.
    Nel caso Colli sopravviva allo sparo di Brunetti, (20%) , colpirebbe inevitabilmente Brunetti al suo turno e poi ci sarebbe un duello con Ascani, che vedrebbe vincere Ascani per il 6% e Colli per il 14%.
    In definitiva (salvo errori molto probabili) Brunetti dovrebbe avere la maggiore possibilità di sopravvivenza (52,0930233%), mentre le probabilità per Ascani e Colli sarebbero rispettivamente 33,9069767% e 14%.

    1. Ottima procedura, anche a me viene così. Nel pomeriggio uscirà la soluzione con l’ausilio di un grafico.

  2. Bene il primo.
    Ascani deve sparare, ma puó sparare in aria e perció non cambia la tua proposta di soluzione. A domani per le soluzioni con dimostrazione

  3. Riguardo al secondo quesito, secondo me la migliore strategia per Ascani al primo turno è di sparare a Colli, (sperando di mancarlo). Questo perché se colpisce l’avversario (30% dei casi), gli conviene che il superstite, che immancabilmente sparerà a lui, sia il peggior tiratore fra gli altri due; se non lo colpisce al secondo turno toccherà comunque a Brunetti sparare, e indifferentemente che Ascani abbia sparato a Brunetti o a Colli, lo scenario che si ripresenterà sarà lo stesso, con tutti i giocatori vivi.
    Ricapitolando:
    Ascani spara a Brunetti e lo uccide (30%) > Ascani è morto al 100% del 30% = 30%
    Ascani spara a Colli e lo uccide (30%) > Ascani è morto all’80% del 30% = 24%

    Per quanto riguarda un calcolo delle probabilità per ciascun giocatore, mi chiedo se si debba assumere che tutti i giocatori adottino la strategia del miglior vantaggio per sé ad ogni turno, o se invece bisogna considerare che, fin quando sono tutti e tre vivi, chi ha il turno possa scegliere indifferentemente a chi sparare, scindendo quindi la probabilità relativa in due parti uguali…

    1. (Leggendo il commento di Davide Landi, io ho assunto che ogni tiratore al suo turno non possa esimersi dallo sparare ad uno degli altri due)

      1. È ammesso sparare in aria, anche se non esplicitato, ma comunque compatibile con il testo del problema.

  4. Il problema 1 mi viene 5000/59000 cioè 8,5%.
    Il secondo problema dico che ad Ascani conviene non sparare perché se per caso uccidesse qualcuno dopo avrebbe poche posibilitá di sipravvivenza. Per il resto non sono in grado di dire chi ha piú probabilitá di sopravvivenza. Bel problema

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