13. Soluzioni del 4 ottobre 2021 – Elezioni, voti disgiunti e duelli a tre

Le soluzioni del 4 ottobre 2021 a cura di Fabio Ciuffoli 

Ieri mattina abbiamo proposto due problema sulle sfide elettorali e oggi presentiamo le soluzioni. 

Elezioni, voti disgiunti e duelli a tre – soluzioni 

1. Voti disgiunti. In un Comune con 100.000 elettori, 60.000 hanno votato la lista liberale, mentre gli altri hanno votato la lista democratica. Inoltre, poiché è possibile il voto disgiunto, tra voto alla lista e voto al candidato sindaco, 6.000 elettori liberali hanno dato la loro preferenza al candidato sindaco democratico e 5.000 elettori democratici hanno votato il candidato sindaco liberale. Se scegliamo a caso un elettore che ha votato il candidato sindaco liberale, qual è la probabilità che si tratti di un democratico?

1. SOLUZIONE. La probabilità è del 8,5%. Per la dimostrazione utilizziamo uno schema.

  • Voti lista liberale: 60.000
  • Voti lista democratica:  40.00.
  • Voti sindaco liberale: 59.000; 
  • Voti sindaco democratico: 41.000; 

I voti per il sindaco liberali sono in totale 59.000 di cui 54.000 espressi dai liberali e 5.000 dai democratici. Il rapporto 5.000/59.000 = 0,085 quindi 8,5% è la percentuale di democratici che ha votato per il sindaco liberale sul totale dei voti per il sindaco liberale.

 

2. Duello a tre. Tre avversari: Ascani, Brunetti e Colli, sono impegnati in un duello a tre. Ogni avversario ha un colpo a disposizione: prima Ascani, poi Brunetti ed infine Colli. Terminato il primo turno, i sopravvissuti hanno diritto ad ulteriori colpi nella stessa sequenza. Per ogni sfidante il miglior risultato è essere l’unico sopravvissuto. Il secondo miglior risultato è di essere uno dei due sopravvissuti. Il terzo risultato è rappresentato dalla possibilità che nessuno muoia. Il peggiore è sicuramente quello di venire uccisi.

Si sa che: Ascani non è un buon tiratore e ha soltanto il 30% di possibilità di colpire la persona a cui mira; Brunetti tira molto meglio raggiungendo una precisione dell’80%; Colli è un tiratore nato non sbaglia mai un colpo.

  • Qual è la miglior strategia di Ascani al primo turno?
  • Chi ha la maggior possibilità di sopravvivenza e quali sono le probabilità di ciascuno di sopravvivere?

2. SOLUZIONE. La miglior strategia di Ascani al primo turno è sparare in alto. Le probabilità di sopravvivere sono:  Ascani = 34%;  Brunetti = 52%;  Colli = 14%.

Se Ascani sparasse a Brunetti e lo colpisse, firmerebbe la sua condanna a morte, poiché Colli non sbaglia mai un colpo. Se Ascani sparasse a Colli e lo colpisse, allora Brunetti sparerà ad Ascani con una probabilità di sopravvivenza di Ascani inferiore al 20%. Per queste ragioni la strategia migliore per Ascani è quella di sparare in aria. Di seguito Brunetti sparerà a Colli e se lo manca, Colli ucciderà Brunetti. Al secondo turno Ascani potrà sparare nuovamente e visto che rimane soltanto un’altra persona egli avrà almeno il 30% di probabilità di sopravvivere. In particolare Colli, pur essendo il più preciso, ha le minori probabilità di sopravvivenza cioè 20 – (20 * 30/100) = 14%; Brunetti avrà il 52% circa, mentre Ascani, che parte svantaggiato sulla carta, avrà il 34% circa. Il procedimento di calcolo può essere illustrato con lo schema seguente, nel quale calcoliamo la probabilità di morire di ciascun partecipante e poi il suo complemento, che equivale alla probabilità di sopravvivere. Indichiamo con A, B e C rispettivamente Ascani, Brunetti e Colli. 

La probabilità di Ascani di morire equivale a (0,2 * 0,7) + (0,8 * 0,7 * 0,8) + (0,8 * 0,7 * 0,2 * 0,7 * 0,8) + (…) ≈ 0,66
quindi probabilità di sopravvivere 1 – 0,66 ≈ 0,34.

La probabilità di Brunetti di morire equivale a 0,2 + (0,8 * 0,3) + (0,8 * 0,7 * 0,2 * 0,3) + (…) ≈ 0,48
quindi probabilità di sopravvivere 1 – 0,47 ≈ 0,52.

La probabilità di Colli di morire equivale a 0,8 + (0,2 * 0,3) = 0,86
quindi probabilità di sopravvivere 1 – 0,86 = 0,14.

La morale del problema è che per i pesci piccoli è meglio passare il primo turno per diventare dei campioni. Lo si vede spesso in politica. Ad esempio, durante le competizioni elettorali, può essere vantaggioso attendere e salire alla ribalta soltanto quando gli altri si sono fatti fuori a vicenda, eliminandosi dalla gara.


A lunedì prossimo

Una risposta

  1. Segnalo la soluzione che mi è stata presentata da Fabio DF con un interessante procedimento:

    Ascani andrà sicuramente al duello finale (Brunetti e Colli cercheranno di uccidersi a vicenda). Per questo motivo, Ascani avrà una maggiore probabilità di vittoria se spara il primo colpo nel duello finale. Questo succederà con sicurezza se sbaglia di proposito il suo primo colpo. Infatti abbiamo:

    A arriva sicuramente al duello finale. Ci sono 4 casi possibili:
    1. Ascani arriva al duello finale con Brunetti avendo a disposizione il primo colpo
    2. Ascani arriva al duello finale con Colli avendo a disposizione il primo colpo
    3. Ascani arriva al duello finale con Brunetti NON avendo a disposizione il primo colpo
    4. Ascani arriva al duello finale con Colli NON avendo a disposizione il primo colpo
    Le probabilità di vittoria di A sono:
    p1 = P(A colpisce B ) + P(A non colpisce B)*P(B non colpisce A)*p1 = 3/10 + (7/10)*(2/10)*p1 = 30/86
    p2 = P(A colpisce C) + P(A non colpisce C)*P(C non colpisce A)*p1 = 3/10
    p3 = P(B non colpisce A)*(P(A non colpisce B)*p3 + P(A colpisce B)) = 6/86
    p4 = P(C non colpisce A)*(P(A non colpisce C)*p4 + P(A colpisce C)) = 0
    Quindi si vede che Ascani ha un vantaggio nel fallire volontariamente il primo colpo, anche perché B e C non hanno alcun vantaggio a seguire la stessa strategia (inoltre, nessuno dei due cercherebbe di eliminare Ascani, essendo il più scarso).
    Per cui la strategia migliore per Ascani è fallire il primo colpo.

    L’altro finalista sarà:
    Brunetti con probabilità Pb = 8/10
    Colli con probabilità Pc = 2/10

    Quindi, le probabilità di vittoria finale saranno le seguenti:
    Pa = Pb * p1 + Pc * p2 = 8/10 * 30/86 + 2/10 * 3/10 = 729/2150 = 0,340
    Pb = Pb * (1 – p1) = 8/10 * (1 – 30/86) = 224/430 = 0,520
    Pc = Pc * (1 – p2) = 2/10 * (1 – 3/10) = 7/50 = 0,14

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