121. Giochi del 22 aprile 2024 – Cerchi e triangoli sangaku

11 risposte

1. Riporto un interessante confronto con Raffae Scognamiglio sul problema 2. Vedi anche immagine allegata.
   Fabio Ciuffoli a Raffae Scognamiglio: “La soluzione al problema 2 a me viene 10. Sono fuori casa, appena posso cerco di capire dove sta la differenza. A presto, tks per il lavoro svolto. A un primo controllo, secondo me l’ipotesi r(ct) = h(tr) (se ho capito bene il raggio del cerchio tratteggiato è uguale all’altezza del triangolo rosso) non è valida, mentre mi sembra corretta la costruzione dei due esagoni regolari rosso e blu. Attendo il tuo parere, domani ci guardo meglio. Ciaoo”.

   Raffae Scognamiglio a Fabio Ciuffoli: “Sulla correttezza dell’ esagono rosso sono certa, se anche l’esagono blu è corretto, cioè, i vertici del rosso sono punti medi dei lati dell’esagono blu e, i vertici del blu appartengono all’altra circonferenza, (cioè l’esagono blu così costruito risulta inscritto proprio nella circonferenza concentrica a quella tratteggiata rappresentata nel quesito e non ad un’altra ad essa concentrica), allora il mio procedimento e i miei calcoli sono giusti.
   È corretta la posizione r(c.t.)=h(t.r.)
   Infatti, la circonferenza tratteggiata è inscritta nel triangolo equilatero. Io ho posto pari ad l il lato del triangolo equilatero assegnato ( mia unica ipotesi), poiché
   r(c.t.)=A/p
   A(t.eq.)=l²√3/4, 2p=3l->p=3l/2
   da cui r(c.t.)=l√3/6 ma,
   r(c.t.) apotema dell’esagono, vuol dire che a(esagono)=l√3/6
   L’esagono può essere diviso in 6 triangoli equilateri la cui altezza è proprio l’apotema dell’esagono, per cui h(t.r.)=r(c.t.)=l√3/6
   Mia unica ipotesi l(t.eq.assegnato)=l
   Ho rifatto i calcoli a ritroso, partendo dal fatto che r(C.t.)/r(C.b.)=10 e ho trovato che
   r(C.circ.esagono blu)=2z+x=7l√3/30
   invece con la mia costruzione viene
   r(C.circ.esagono blu)=2z+x=2l√3/9 di poco più piccolo come si può notare, per cui i vertici dell’esagono blu che ho costruito dovrebbero appartenere ad una circonferenza concentrica a quella del grafico. Dopo attenta verifica, sono certa che il problema della differenza del risultato sia proprio questo.”

   Fabio Ciuffoli a Raffae Scognamiglio: “D’accordo la differenza del risultato, 10 anziché 8, implica una diversa misura del r(C.circ.esagono blu). Questo mi porta a dire che non è verificata l’ipotesi che “i vertici dell’esagono rosso sono punti medi dei lati dell’esagono blu” pur restando valida la costruzione dei due esagoni rosso e blu e la concentricità delle due circonferenze tratteggiata e di quella più grande. Grazie per il confronto.

   

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2. Quesito 1. Vedi allegato disegno. B = 2C = πr^2/8 – r^2/4 = (π-2)r^2/8
   A + B = A + 2C = πr^2/4 – r^2/2 = (π-2)r^2/4 =2B
   A = B c.v.d.

   

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3. N. 2. Indicando con b il raggio dei cerchi bianchi, con gs quello dei cerchi grigio scuro, con gc quello dei cerchi grigio chiaro, con t quello del cerchi tratteggiato e con G il raggio del cerchio più grande, possiamo scrivere le seguenti uguaglianze
   gs+4b+2gs=t
   gs+4b+4gs=G
   gs+2gc=G
   gs+4b+gs=gs+gc
   Le prime tre provengono evidentemente dalla possibilità di decomporre alcuni raggi più grandi in segmenti radialie diametrali più piccoli, la quarta è un po’ più complicata da vedere e discende dal fatto che il quadrilatero che ha per vertici il centro del cerchio grigio scuro centrale, i centri di due cerchi grigio scuro lungo due direzioni diverse e il centro del cerchio grigio chiaro adiacente è un rombo e quindi ha lati uguali che possono essere decomposti nei due modi descritti. Abbiamo quindi le equazioni
   4+3gs/b=t/b
   4+5gs/b=G/b
   gs/b+2gc/b=G/b
   4+gs/b=gc/b
   Risolvendo il sistema si ha t/b=10

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4. L’area di A si ottiene sottraendo al quarto di cerchio i due semicerchi e aggiungendo B che sarebbe tolto due volte anziché una.
   Ma quarto di cerchio e i due semicerchi sono equivalenti
   Rimane A = B
   A = (pi r^2)/4 – 2* pi(r/2)^2 /2 + B
   quindi A = B

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5. Quesito 3. vedi immagine allegata

   

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6. 1. Se 2r è il raggio del quarto di cerchio Q e C è l’area di ciascun semicerchio piccolo, si ha:
   Q = C + C – B + A cioè
   1/4(pi x (4r^2))=
   = 2×1/2(pi xr^2) – B + A
   e con un rapido calcolo algebrico => A = B

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7. 1.
   B = 2C

   Dalla proporzione lineare 1:2 si ricava che il quarto di cerchio di raggio 2 ha area quadrupla del quarto di cerchio di raggio 1, quindi A+2C = 4C, ma B = 2C, quindi A+2C = B+2C, A = B.

   

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   1. Bene, ottima grafica. A domani per le soluzioni commentate anche da un altro punto di vista.

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8. 3.
   Ricavo r con Pitagora:
   (2-r)^2 + 1 = (1+r)^2 da cui r = 2/3

   Triangoli simili, ricavo x e R.
   (1+x)/4 =4/(4R)
   (1+x)^2+16=(3+x)^2

   da cui x = 2, R = 4/3

   R = 2r

   

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   1. Ottimo, chiaro e sintetico. A domani per la nostra proposta di soluzione.

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9. Problema 1.
   Detto R il raggio di ciascuno dei semicerchi, ne consegue che 2R è il raggio del quarto di cerchio e, pertanto, che l’area di ciascun semicerchio vale πR²/2, mentre quella del quarto di cerchio vale πR². La somma delle aree dei due semicerchi dunque equivale all’area del quarto di cerchio, per cui A e B non possono che essere equivalenti.

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