121. Soluzioni del 22 aprile 2024 – Cerchi e triangoli sangaku
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I Giochi del Lunedì di Prisma dell’8 aprile 2024 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo due giochi logici che si basano sul concetto di parità matematica. I giochi sono ambientati in un’ipotetica facoltà universitaria dove un bizzarro professore si diverte a insegnare Logica e Teoria dei Giochi ai suoi studenti, sottoponendo loro enigmi e dilemmi. Invitiamo il lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio riservato ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre soluzioni.
L’esame universitario di Logica
1. Dieci studenti universitari devono sostenere l’esame di Logica. L’insegnante li dispone in fila, uno dietro l’altro, con la visuale bloccata in modo che possano vedere solo quelli che hanno davanti, il primo vede tutti gli altri nove, il secondo ne vede otto e così via fino all’ultimo che non vede alcuno studente. L’insegnante fa indossare loro un cappello di colore bianco o blu in maniera totalmente casuale. A turno, partendo dal primo della fila, quello che riesce a vedere gli altri nove, viene chiesto di indovinare il colore del proprio cappello. Quando uno studente pronuncia la propria risposta tutti gli altri la sentono, ma non possono comunicare tra loro. L’insegnante concede loro di organizzarsi prima della prova e di elaborare una strategia che consenta di indovinare il maggior numero di cappelli possibile. Tutti gli studenti supereranno l’esame se almeno nove di loro avranno indovinato il colore del proprio cappello. Quale strategia permetterà agli studenti di superare l’esame?
2. A 30 studenti, che devono sostenere l’esame di Teoria dei Giochi, viene posto in testa, casualmente, un cappello rosso o nero. Ognuno può vedere i colori dei cappelli degli altri, ma non il proprio e non è consentita alcuna comunicazione. A ciascuno viene chiesto di scrivere su un foglietto il colore del proprio cappello e se almeno la metà avrà indovinato, tutti gli studenti avranno superato l’esame. Gli studenti possono comunicare tra loro prima dell’inizio del gioco. Sapreste indicare la strategia vincente?
Aggiornamneto per le soluzioni click qui.
Il primo gioco è stato proposto da Massimo Gatto, studente di Filosofia all’Università di Milano, che ringrazio per la collaborazione. Il secondo gioco è tratto dal libro Mathematical Puzzles di Peter Winkler, CRC Press 2021.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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8 risposte
Premessa:
Concetto di parità: la caratteristica di un numero intero di essere PARI o DISPARI viene detta PARITA’. In particolare, due numeri interi hanno:
• stessa parità, quando sono entrambi pari o entrambi dispari;
• diversa parità, quando sono uno pari e l’altro dispari, o viceversa.
In generale, quando la quantità degli elementi di un dato insieme subisce modifiche, si dice che tale insieme ha:
• cambiato parità, se la quantità finale degli elementi presenta una parità diversa da quella iniziale;
• mantenuto la parità, se la quantità finale degli elementi presenta la stessa parità di quella iniziale.
Nella successione di numeri interi, un elemento adiacente a un numero pari è sempre dispari e, viceversa, un elemento adiacente a un numero dispari è sempre pari, come segue:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, …
Possiamo semplificare questa regola dicendo allora:
pari ± pari = pari
dispari ± pari = dispari
pari ± dispari = dispari
dispari ± dispari = pari
Soluzione:
I dieci studenti si sono così accordati. Il primo (il più alto) vedrà “sotto di sé” nove berretti. Essendo “nove” un numero dispari, sarà la somma di un numero dispari più un numero pari o viceversa: (1+8, 2+7,3+6,4+5, …,). Pertanto, o quelli bianchi o quelli blu saranno in numero dispari. Decidono che il primo studente (il più alto) dirà il colore dei berretti che vedrà davanti a sé in un numero dispari, qualunque sia la distribuzione dei berretti.
(Ovviamente, potevano concordare di dire il colore dei berretti “pari” che vedrà, basta solo mettersi d’accordo prima).
Allora il primo, ricordando quanto stabilito (… dirà il colore dei berretti dispari che vedrà davanti a sé), dice: es: ”bianco”.
Il secondo sa adesso che tra i nove berretti rimasti (compreso il suo), quelli bianchi devono essere in numero dispari; conta quelli bianchi sotto di sé e se la parità non è cambiata, vuol dire che il suo è blu. Dice “blu”.
… E così via…
Gli altri con molta attenzione dovranno calcolare se la risposta precedente fa cambiare o no la parità e rispondere adeguatamente. Alla fine, avranno certamente nove risposte corrette.
Ottimo. Nel pomeriggio le soluzioni commentate. A dopo.
Soluzione 2° quesito. Penso che possa essere risolto come segue:
La strategia che i ragazzi dovranno concordare per superare l’esame è quella di dire sempre l’opposto del colore del cappello che vedono nel minor numero di loro, infatti:
1° caso
15 neri- 15 rossi
Comunque prendo un allievo con cappello nero vedrà:
14 cappelli neri e 15 rossi
I14 neri diranno rosso e i 15 rossi diranno rosso e quindi ok ( almeno la metà ha detto il colore corretto del proprio cappello)
ok primo caso.
2° caso:
15+n rossi e 15-n neri
Comunque prendo un allievo con cappello rosso vedrà:
14+n rossi e 15-n neri
I 14+n (maggioranza) dicono rosso opposto del colore dei cappelli in minoranza e quindi ok (a me importa che almeno la metà dica il colore corretto).
3° caso:
15+n neri e 15-n rossi
Comunque prendo un allievo con cappello nero vedrà:
14+n cappelli rossi e 15-n neri
I 14+n (maggioranza) dicono rosso opposto del colore dei cappelli che vedono nella minoranza e quindi ok (a me interessa che almeno la metà dica il colore corretto)
Mi sa che non funziona: se sono 15 e 15, chi ha il cappello nero vedrà meno cappelli neri, quindi dirà rosso (sbagliando). Lo stesso per coloro che hanno i cappelli rossi.
Un suggerimento: supponiamo di avere due soli studenti. Potranno avere o il cappello uguale oppure il cappello diverso. Come possiamo fare in modo che uno dei due indovini sicuramente?
Per ora non offro la soluzione, devo pensarci e… ricordare. Ricordare che un quesito simile fu presentato parecchi anni fa “dal vivo”, con ragazzi opportunamente istruiti, al Festivaletteratura di Mantova, in cui vi era una sezione di eventi dedicata alla Matematica, coordinati dal prof. Giuseppe Rosolini. Agli N ragazzi disposti in fila indiana veniva fatto indossare il cappello (forse all’inizio erano anche bendati in modo da ridurre il rischio di vedere i cappelli), solo l’ultimo (N-esimo) della fila poteva vedere i cappelli degli N-1 ragazzi davanti a lui, il penultimo vedeva N-2 cappelli,… il secondo vedeva 1 cappello davanti a sé, il primo non sapeva di che colore fossero gli altri cappelli più indietro e nemmeno il proprio. Attraverso una serie di domande a cui rispondevano in sequenza, alla fine il primo (o anche l’ultimo?…) era in grado di dire di che colore fosse il proprio cappello. Il pubblico presente all’evento era invitato a fornire ipotesi risolutive, che (ahimè) non ricordo.
Soluzione 2. Ciascun partecipante conterà il n di cappelli di ciascun colore e dirà di avere in testa il cappello del colore presente in maggior numero nel gruppo,in tal modo il n di concorrenti che indovinera’ il colore del suo cappello sarà maggiore della metà dei partecipanti.
Buonasera Caterina, sì la strada da seguire è abbastanza vicina, ma questa non è la procedura risolutiva. A domani per le soluzioni e i commenti.