120. Soluzioni dell’8 aprile 2024 – L’esame universitario di Logica

Soluzioni dell’8 aprile 2024 a cura di Fabio Ciuffoli 

Ieri abbiamo presentiamo due giochi logici basati sul concetto di parità matematica, ambientati in un’ipotetica facoltà universitaria dove un bizzarro professore si diverte a insegnare Logica e Teoria dei Giochi ai suoi studenti. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione. 

L’esame universitario di Logica – soluzioni 

1. Dieci studenti universitari devono sostenere l’esame di Logica. L’insegnante li dispone in fila, uno dietro l’altro, con la visuale bloccata in modo che possano vedere solo quelli che hanno davanti, il primo vede tutti gli altri nove, il secondo ne vede otto e così via fino all’ultimo che non vede alcuno studente. L’insegnante fa indossare loro un cappello di colore bianco o blu in maniera totalmente casuale. A turno, partendo dal primo della fila, quello che riesce a vedere gli altri nove, viene chiesto di indovinare il colore del proprio cappello. Quando uno studente pronuncia la propria risposta tutti gli altri la sentono, ma non possono comunicare tra loro. L’insegnante concede loro di organizzarsi prima della prova e di elaborare una strategia che consenta di indovinare il maggior numero di cappelli possibile. Tutti gli studenti supereranno l’esame se almeno nove di loro avranno indovinato il colore del proprio cappello. Quale strategia permetterà agli studenti di superare l’esame?

1. SOLUZIONE. Il primo studente ha una probabilità del 50% di indovinare il colore del suo cappello, mentre tutti gli altri nove avranno la sicurezza di indovinare il colore del loro cappello. Gli studenti dovranno mettersi d’accordo sul significato della risposta del primo studente. Ad esempio se dice bianco allora il numero dei cappelli bianchi che lui riesce a vedere è dispari, se dice blu allora il numero dei cappelli bianchi che riesce a vedere è pari. Ora il secondo studente, contando i colori degli otto cappelli che riesce a vedere, sarà in grado di dedurre con certezza il colore del suo cappello. Lo stesso vale per il terzo, che avendo ascoltato il primo e il secondo, sarà in grado di dedurre il colore del suo cappello contando i colori dei sette cappelli che vede e così via fino all’ ultimo studente che, dopo aver ascoltato tutti gli altri nove e tenuto a mente i conteggi, sarà in grado di dire il colore del suo cappello. L’ unico di cui non si è certi è il primo studente che comunque avrà una probabilità del 50% di indovinare.

2. A 30 studenti, che devono sostenere l’esame di Teoria dei Giochi, viene posto in testa, casualmente, un cappello rosso o nero. Ognuno può vedere i colori dei cappelli degli altri, ma non il proprio e non è consentita alcuna comunicazione. A ciascuno viene chiesto di scrivere su un foglietto il colore del proprio cappello e se almeno la metà avrà indovinato, tutti gli studenti avranno superato l’esame. Gli studenti possono comunicare tra loro prima dell’inizio del gioco. Sapreste indicare la strategia vincente?

2. SOLUZIONE. Gli studenti hanno una strategia vincente utilizzando il concetto di “parità”.  Si dividono in due gruppi: 15 assumono che il numero totale dei cappelli rossi sia pari, mentre gli altri 15 assumono che i cappelli rossi siano dispari. Supponiamo che Alberto sia nel gruppo che ha ipotizzato un numero pari di cappelli rossi, allora conterà i cappelli rossi totali e se sono dispari scriverà “rosso”, mentre se sono pari scriverà “nero”. Allo stesso modo si comporteranno gli altri studenti, così uno dei due gruppi, il 50%, avrà sicuramente indovinato il colore del proprio cappello! Per semplicità consideriamo un esempio con solo 4 studenti, nel quale Aldo, Bruno, Carlo indossano il cappello rosso e Danilo indossa il cappello nero. Ora ipotizziamo che Aldo e Bruno assumano che il numero totale di cappelli rossi sia pari e allora ciascuno di loro conterà i cappelli rossi che saranno 2, quindi pari, e scriverà (sbagliando) “nero”. A questo punto Carlo e Danilo, i quali assumono che il numero totale di cappelli rossi sia dispari, conteranno i cappelli rossi e Carlo, contandone 2, scriverà (giustamente) “rosso”, mentre Danilo, contandone 3, scriverà (giustamente) “nero”. Così Carlo e Danilo, il 50%, hanno indovinato il colore del proprio cappello!     

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.