127. Soluzioni del 15 luglio 2024 – L’istinto matematico
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I Giochi del Lunedì di Prisma del 24 ottobre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
I giochi, che presentiamo questa settimana, sono stati suggeriti dal Dipartimento di Fisica dell’Università di Oxford all’interno di un progetto che chiariremo in seguito. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando la spazio riservato ai commenti. Domani pomeriggio alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
Fisica a Oxford
1. Al mattino hai fretta perché devi recarti al lavoro. Ti versi una tazza di caffè nero, ma è troppo caldo e allora vuoi aggiungere una quantità fissa di latte freddo. Dopo l’aggiunta del latte freddo, il caffè dovrà raffreddarsi ancora per alcuni minuti prima di poterlo bere. In quale caso il caffè si raffredda di più velocemente?
2. Una mosca è appoggiata sul fondo di un bicchiere che si trova su una bilancia digitale molto sensibile. All’improvviso la mosca decolla. Cosa succede alla scala del lettore digitale?
3. Una corda senza peso collega due sfere di metallo identiche. Il punto medio della corda è oltre il bordo di un tavolo, come disegnato in figura. Ora lasci andare entrambe le palle contemporaneamente. Cosa accadrà prima: la palla 1 esce dal tavolo oppure la palla 2 colpisce il lato del tavolo?
4. Il livello dell’acqua contenuta in tre bicchieri identici è esattamente lo stesso. Tuttavia, mentre il bicchiere 1 contiene solo acqua, nel bicchiere 2 galleggia, parzialmente immerso, un tappo di sughero e sul fondo del bicchiere 3 c’è una sferetta d’acciaio. Quale dei tre bicchieri ha il peso maggiore e quale il peso minore?
I giochi 1, 2 e 3 sono stati proposti dal professor Alexander Lvovsky dell’Università di Oxford, che gestisce la Comprehensive Oxford Mathematics and Physics Online School (COMPOS), una nuova iniziativa per approfondimenti in matematica e fisica per gli studenti delle scuole statali del Regno Unito. Il gioco 4 è tratto dalla sezione di Fisica delle prove di amissione alla facoltà di Medicina e Chirurgia del settembre 2022.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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23 Responses
Se il tavolo è liscio non ci sono forze esterne orizzontali, quindi la componente orizzontale della velocità del CM è costantemente nulla. Quindi entrambe hanno lo stesso modulo di velocità orizzontale(e verso opposto). La pallina 1 arriva quindi per prima al bordo perché compie un percorso orizzontale più breve.
1 – risposta 2 (lo ricordo riportato da Martin Gardner, la dispersione di calore dipende dalla differenza di temperatura, abbassandola subito si minimizza la dispersione – ricordo anche che riportava che la differenza di irradiazione dovuta al colore più chiaro o al volume diverso è ininfluente ) (ho letto il libro più di 40 anni fa)
2 – al decollo il peso aumenta, specie se la mosca si dà una bella spinta con le zampette, poi diminuisce del peso della mosca
3 – ma la palla 2 colpisce il tavolo?
4 – 1 e 2 pesano uguale (peso sughero=peso volume acqua che sposta), il terzo bicchiere è più pesante, in dipendenza della dimensione della sferetta, che ovviamente sposta meno acqua di quanto pesa
1 scelta 2
2 scende
3 2 possibilità
4 1 peso minore 3 peso maggiore
Bene la 1, parziale la 2, la 3 e la 4. Nel pomeriggio le soluzioni
Quesito 1: partiamo da caffè ad una temperatura (alta) e latte (temperatura ambiente). Alla fine avremo una miscela di caffè + latte. Il mescolamento non disperde calore (possiamo ritenere sia adiabatico). Quindi il raffreddamento della miscela avviene per convezione e irraggiamento verso l’ambiente. La dispersione in questi casi è legata alla differenza fra temperatura del corpo caldo e temperatura ambiente. Conviene quindi effettuare la mescolanza per ultima in modo da massimizzare la differenza di temperatura. A meno che la tazzina abbia una forma tale che l’aggiunta del latte aumenti considerevolmente la superficie libera del liquido e quindi lo scambio di calore con l’ambiente
Problema 4. Bicchiere 3 peso> del bicchiere 1 il cui peso è = al bicchiere 2
1.2 l oggetto molto caldo disperde piú velocemente calorie.
2.1 il piatto della bilancia si alleggerisce se tolgo della massa, che sulla terra é anche peso. Impulso non considerato.
3.2 seno contro coseno. Dapprima prevale la destra coseno.
4. 1&2 galleggia = archimede, 3 = piú pesante.
Ottimo, nel pomeriggio le soluzioni.
Quesito 3: assumendo un sistema di assi con origine nello spigolo del tavolo, se L è la lunghezza della fune, la palla 2 si troverà inizialmente in L/2+d e la palla 1 in d-L/2. Il baricentro si troverà in d. Poiché non agiscono forze lungo l’orizzontale il baricentro è fermo dal punto di vista dell’asse x. Quindi se la palla 2 colpisse il lato del tavolo, la palla 1 dovrebbe trovarsi in + 2d e quindi fuori dal tavolo. Pertanto la palla 1 esce dal tavolo prima che 2 colpisca il tavolo. Diverso il discorso se inizialmente il baricentro fosse entro il bordo del tavolo.
Quesito 2: la mosca accelera verso l’alto. Se pensiamo il sistema mosca+ bicchiere, la forza esercitata sulla bilancia deve essere pari a peso mosca + massa mosca x accelerazione mosca. Quindi la bilancia indica un valore maggiore.
Quesito 4: peso bicchiere acqua= peso bicchiere con sughero (galleggiamento!)< peso bicchiere con piombo.
Ottimo a domani per le soluzioni.
1) Risposta 2. Meglio attendere qualche minuto col caffè nella tazzina (non nella caffettiera, che conserva il calore) e solo dopo aggiungere il latte. Infatti il caffè caldo perde calore più rapidamente del latte a temperatura ambiente. Se il latte proviene dal frigo meglio ancora estrarlo dal frigo all’ultimo minuto.
Questo quesito me l’ero posto pure io, spontaneamente, qualche anno fa, proprio per cercare la soluzione più rapida (e per il piacere di inventare e risolvere quesiti 😀 ).
2) Quando la mosca decolla il suo peso dovrebbe essere compensato dalla pressione dell’aria verso il basso, che la fa volare, per cui il peso dovrebbe rimanere invariato (fosse una cavalletta, forse la bilancia segnerebbe un rapido picco di peso all’atto in cui la cavalletta spinge in giù per lanciarsi in salto). Una volta che la mosca vola, se il contenitore non è chiuso ermeticamente (e il bicchiere non lo è), in teoria il peso dovrebbe diminuire, in quanto la spinta dell’aria verso il basso si “sfoga” spingendo l’aria fuori dal contenitore. In un bicchiere, questa pressione vanificata dalla fuoriuscita di aria, potrebbe anche rendere subito la pesata più leggera (lo dico anche perchè manca l’opzione di peso invariato).
3) La palla 2 colpisce il lato del tavolo prima che la 1 fuoriesca. Infatti durante il primo tratto di caduta la corda non sarà più tesa, per cui non eserciterà alcuna forza verso il bordo del tavolo.
Quando la corda toccherà lo spigolo inizierà a tendersi, e la palla 1 inizierà ad accelerare (ma da ferma e, fra l’altro, strisciando e non rotolando), mentre la 2 sarà già avviata (Vi > 0 considerando per iniziale questo istante) e toccherà prima la parete. Questa, tuttavia, è una “dimostrazione” qualitativa, ma non quantitativa, per cui potrebbe essere affetta da stime sbagliate…
Altra possibile spiegazione: se la corda fosse rigida il sistema ruoterebbe attorno al punto di contatto, con velocità angolare uguale per entrambe le palle, che percorrerebbero così i 90° nello stesso tempo, giungendo contemporaneamente a destinazione; dunque partendo insieme arriverebbero insieme, partendo prima la 2 dovrebbe arrivare prima la 2.
4) Il bicchiere col sughero, a parità di livello (e forma e capacità del bicchiere, ovviamente) dell’acqua pesa uguale a quello del sughero: il volume in più offerto dal sughero (la parte sporgente sopra il pelo dell’acqua) è compensata dalla sua minor densità: per la spinta di Archimede il peso di tutto il tappo equivale al peso dell’acqua “spostata”, cioè dell’acqua che coprirebbe il volume sommerso del tappo.
Oppure: se il tappo fosse di ghiaccio, con stessa densità del sughero (ma funziona anche con densità diverse purchè <= a quella dell'acqua), fondendo non alzerebbe il livello dell'acqua (quesito classico).
Nel terzo bicchiere si sostituisce un volume d'acqua con un pari volume di acciaio, sicuramente a massa maggiora (avendo densità maggiore, e il fatto che stia sul fondo ne è la prova, qualora che ne fosse bisogno), dunque la massa del terzo bicchiere è la maggiore.
Ottimo a domani per le soluzioni. Da rivedere la risposta 3.
Direi: alla prima domanda risposta 2; alla seconda risposta 1; alla terza risposta 1. La quarta non saprei.
Bene la risposta alla 1, bene la 2 anche se parziale, da rivedere la 3. A domani pomeriggio per le soluzioni.
1 – risposta 2
2 – immediatamente 1 poi 2
3 – palla 1
4 – verificare peso sughero. Non conosciamo dimensioni.
Bene 1, 2 e 3. La 4 non va bene!
Anch’io avevo dubbi sul quarto. I ricordi liceali ed universitari sono lontani anche perché il lavoro è andato in tutt’altra direzione. (Ho 65 a).
Archimede dice che il corpo immerso riceve una forza pari al peso del fluido spostato. In qualche modo lascerebbe intendere che il fluido fa in modo di sostenere il corpo. Però ho pensato che in ogni caso il livello dell’acqua sale quindi in qualche modo cresce il peso che grava sulla bilancia. Che cosa c’è di errato? È una domanda per capire naturalmente, non per contestare
Bene il principio di Archimede, a domani per le soluzioni.
Il sughero pesa quanto il volume d’acqua mancante quindi il bicchiere d’acqua e il bicchiere col sughero avendo stessa forma e livello dell’acqua sono uguali in peso.
Probl.2: La bilancia inizialmente segna un peso maggiore, dovuto alla spinta della mosca in decollo; poi scende, perché il bicchiere è più leggero senza la mosca.
Probl.4: Il bicchiere con la sfera d’acciaio è sicuramente il più pesante. Gli altri due, direi che hanno lo stesso peso, secondo Archimede.
Ottimo, a domani per le soluzioni.
Mi sembra rilevante sapere di quanto (in termini percentuali) il punto medio della corda sia oltre il bordo del tavolo, anche se non saprei fare un calcolo rapido
Non dando nessuna misura della sporgenza del punto medio, presumo, senza fare calcoli, che anche lo spostamento minimo verso l’esterno porti alla fuoriuscita della sfera dal tavolo prima che la seconda tocchi lateralmente