60. Soluzioni del 12 settembre 2022 – Strategie e ottimizzazione

Le soluzioni del 12 settembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli 

Ieri abbiamo proposto due problemi di strategia e di ottimizzazione, di seguito presentiamo le soluzioni argomentate. 

Strategie e ottimizzazione – soluzioni 

1. Si prendono tre foglietti di carta e su ogni foglietto viene scritto un numero positivo diverso. I numeri possono variare da piccole frazioni di 1 alle dimensioni di un googol (1 seguito da cento zeri) o anche maggiore. I foglietti vengono posti a faccia in giù su un tavolo e mescolati. Il gioco ti chiede di individuare il foglio con il numero più alto, con le seguenti regole. Puoi scoprire un foglio e puoi fermarti oppure puoi scoprire un secondo foglio, ma perderai l’opportunità offerta dal primo foglio. Dopo aver scoperto il secondo foglio puoi fermarti oppure scoprire il terzo foglio, restando così con il valore del terzo foglio. Qual è la strategia che migliora le probabilità di trovare il numero più alto?

1. SOLUZIONE. La risposta più concisa è: “Prendi il secondo, se è migliore del primo, altrimenti prendi il terzo”. Definiamo i tre numeri A, B e C, ipotizzando A > B  > C. La miglior strategia è girare il primo foglio e poi il secondo foglio. Se il secondo foglio mostra un numero maggiore del primo, è conveniente fermarsi, ma se il secondo è inferiore rispetto al primo, allora conviene scegliere il terzo foglio.

La strategia è non fermarsi al primo foglio e usare il primo foglio come riferimento per ciò che verrà dopo. In dettaglio:

• 1. Seleziona un foglietto rifiuta l’importo dietro di esso.
• 2. Seleziona un secondo foglietto e procedi come segue:
  • 2a. Se questa scelta è migliore rispetto a quella del primo foglietto, fermati.
  • 2b. Se questa scelta è peggiore rispetto a quella del primo foglietto, vai avanti e scegli il terzo foglietto.

Vediamo perché funziona. Chiamiamo i fogli A, B e C in ordine di preferenza, quindi l’obiettivo è finire con A. Se scegli A, lo rifiuti e poi termini con B o C. Se scegli B, in ogni caso termini con A. Se scegli C, termini con A al 50%. In sintesi, ottieni il miglior risultato se inizialmente scegli B oppure C e arrivi a A. La probabilità della scelta B è 1/3 e la probabilità della scelta C e poi A è 1/3 * ½ = 1/6, perciò la probabilità combinata è 1/3 + 1/6 = 1/2, o 50%. Con questa strategia hai aumentato le probabilità del miglior risultato da 1 su 3 a 1 su 2. 

2. Una borsa contiene un sassolino bianco e molti sassolini neri. Tu e un amico, a turno, scegliete casualmente i ciottoli dal sacchetto, uno alla volta, senza reimmetterli. Vince chi estrae il sassolino bianco. Per massimizzare le tue possibilità di vincere, è preferibile iniziare il gioco per primo o per secondo?

Il vantaggio di iniziare per primo è che hai la possibilità di vincere prima che lo faccia il tuo amico. Lo svantaggio è che, se non ottieni il sassolino bianco al primo tentativo, stai offrendo al tuo amico l’opportunità di vincere e con un sassolino nero in meno nella borsa…

2. SOLUZIONE. Se il sacchetto contiene un numero pari di sassolini, al limite 2 ma anche 4 o 6 ecc. le probabilità tue e del tuo amico di scegliere il bianco sono uguali e quindi essere il primo non comporta alcun vantaggio. Se ci sono n ciottoli in totale, ci sono 1 / n possibilità di ottenere il ciottolo bianco alla prima scelta. Le possibilità, di ottenerlo alla seconda scelta, sono le possibilità di non ottenerlo nella prima scelta, che sono (n – 1) / n moltiplicate per le probabilità di ottenerlo alla seconda scelta, che sono 1 / (n -1) che significa 1 / n possibilità.

Se il sacchetto contiene un numero dispari di ciottoli, al limite 1 o 3 o 5 ecc.  è conveniente essere il primo a scegliere perché hai il vantaggio potenziale di un tentativo in più.

A lunedì prossimo.