43. Soluzioni del 9 maggio 2022 – Prove d’esame

Le soluzioni del 9 maggio 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo proposto due problemi provenienti dal mondo della scuola e ora presentiamo le soluzioni. 

Prove d’esame – soluzioni  

1. Il cerchio di raggio R centrato nel vertice in basso a sinistra del quadrato in figura ne ricopre metà della superficie; il cerchio di raggio r centrato nel centro del quadrato ne occupa metà della superficie. Sapendo che i quadrati sono equivalenti, determina il rapporto R/r.1. SOLUZIONE. L’area del quarto di cerchio a sinistra è πR2/4; mentre l’area del cerchio di destra è πr2. Definendo S l’area di ogni quadrato, avremo: πR2/4 = S/2 = πr2 [con R, r >0] che diviene R2/4 = r2. Infine R/r = 2.

 

2. Un’impresa industriale, con una capacità annua di 180.000 unità di prodotto alfa, sostiene costi fissi su base annua per l’importo complessivo di euro 230.000 e un costo variabile unitario di euro 7. Il prezzo unitario di vendita è di euro 13. Determinare:

  • a) il punto di equilibrio [ossia la quantità di produzione per avere la parità tra costi totali e ricavi totali];
  • b) il grado di sfruttamento degli impianti in riferimento alla quantità di equilibrio;
  • c) la quantità di produzione necessaria per conseguire un utile di euro 100.000.

2. SOLUZIONE.  a) Il punto di equilibrio si calcola mettendo a rapporto i costi fissi con la differenza tra prezzo unitario e costo variabile unitario, nel nostro caso: 230.000 / (13 – 7) ≈ 38.333 (quantità di prodotti per l’equilibrio).

b) Il grado di sfruttamento degli impianti è (38.333 / 180.000)* 100 = 21,3%.

c) la quantità di produzione necessaria per un utile di euro 100.000 è (230.000 + 100.000) / (13 – 7) = 55.000 unità di prodotto alfa.


A lunedì prossimo. 

4 risposte

  1. Ecco il disegno 🙂 (prima non avevo geogebra sottomano…)

    Diciamo che il mio approccio alla matematicaè sempre stato lo sporcarsi le mani per vedere se c’è un esempio semplice da cui tirare fuori una soluzione globale. E come ogni buon matematico sono abbastanza pigro e quindi cerco di evitare di fare conti, se possibile!

  2. per il primo problema c’è un metodo forse più semplice. Costruiamo due quadrati 2×2: nel primo mettiamo quattro copie ruotate del quadrato di sinistra per ottenere un unico cerchio, nel secondo quattro copie del quadrato di destra. Il cerchio grande del primo quadrato ha la stessa area dei quattro cerchi piccoli del secondo quadrato, quindi il rapporto dei due raggi è √4 = 2.

    1. Soluzione visionaria, ottima merita un disegno. Onorato di aver un suo commento, ammiro il suo approccio alla matematica, ai giochi logici e alla musica.

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