41. Giochi del 25 aprile 2022 – Strategie in famiglia e probabilità

I Giochi del Lunedì di Prisma del 25 aprile 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

I giochi che proponiamo oggi riguardano il calcolo delle probabilità e le strategia in famiglia. Il primo è un problema di probabilità semplice, mentre il secondo è di probabilità condizionata. Invitiamo i lettori a inviare le loro osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai commenti. Domani pomeriggio alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.  

Strategie in famiglia e probabilità 

1. Solo quattro bambini. Una coppia prevede di avere quattro figli. È più probabile che avranno due maschi e due femmine, o tre di un sesso e uno dell’altro?  [Si suppone che ogni figlio abbia una probabilità del 50% di essere maschio o femmina.]

 

2. Strategie in famiglia. I Browns si sono sposati da poco e stanno progettando quanti figli avere. Il signor Brown vuole fermarsi non appena hanno due maschi di seguito, mentre la signora Brown vuole fermarsi non appena hanno una femmina seguita da un maschio. Entrambi vorrebbero avere una famiglia poco numerosa. Quale delle due strategie dovrebbero scegliere?  [Si suppone che ogni figlio abbia una probabilità del 50% di essere maschio o femmina.]

Aggiornamento per le soluzioni click qui


Il due problemi sono facilmente reperibili in un testo di Calcolo delle Probabilità.

 

4 risposte

  1. 1) A sentimento sembrerebbe più probabile “2 maschi e 2 femmine”, e lo sarebbe se l’alternativa fosse soltanto “3 maschi e una femmina”. Lo sarebbe anche se l’alternativa fosse soltanto “3 femmine e un maschio”.
    L’alternativa, invece, è l’unione (come operazione tra insiemi) tra le due, ovvero vanno bene sia 3 maschi e una femmina che tre femmine e un maschio.
    In termini di probabilità:
    i casi possibili sono 16, individuabili facilmente coi primi 16 numeri (partendo da 0000 fino a 1111) in base due.
    a) Due maschi e due femmine = 6 casi favorevoli sui 16 possibili = 6/16 = 3/8
    b) Tre maschi e una femmina: 4/16 = 1/4. Per simmetria è uguale a 1/4 tre femmine e tre maschi, per cui il secondo caso vede 1/4 + 1/4 = 1/2 di probabilità. 1/2 > 3/8 –> è più probabile avere tre figli dello stesso sesso e uno dell’altro piuttosto che due e due.

    2) Con due figli la sequenza maschio-maschio è uguale a quella maschio femmina = 1/4 (devono andar bene tutte e due le nascite, non sono concessi “errori”).
    Con tre figli la sequenza maschio-maschio aumenta a 3/8 di probabilità, contro 4/8 (1/2) per maschio-femmina che è quindi più probabile.
    Con 4 figli il divario aumenta: maschio-maschio 8/16 = 1/2, maschio-femmina = 11/16 (strano questo rapporto, questo numeratore dispari, anzi, numero primo!), quasi 3/4.
    Dunque la risposta alla seconda domanda è che è più probabile che si verifichi prima la sequenza maschio-femmina piuttosto che maschio-maschio.

  2. Problema n1: I casi possibili sono le combinazioni con ripetizione di 2 elementi a gruppi di 4, cioè 2^4=16. La probabilità di avere due maschi e due femmine è pari a 6/16 = 3/8. Questo perché ci sono 6 modi di avere 2M e 2F (MMFF, MFMF, MFFM, FMMF, FMFM, FFMM). La probabilità di avere tre figli di un sesso e uno di un altro è pari a 8/16 = 1/2. Questo deriva dal fatto che ci sono 8 casi favorevoli (MFFF, FMFF, FFMF, FFFM, FMMM, MFMM, MMFM, MMMF). Quindi è superiore quest’ultima probabilità.

    Problema n2: Se ci limitiamo a 2 figli, entrambi gli approcci hanno il 25% di successo (MM e FM, rispettivamente). Se i figli sono 3 prima di fermarsi, allora la prima strada non ha possibilità di successo. Infatti se il primo nato è M, allora la seconda è F (altrimenti ci si sarebbe fermati a 2 figli) e il terzo figlio comunque non porta a conclusione. Se il primo nato è F, il secondo non può essere M altrimenti ci si sarebbe fermati a 2 figli, e il terzo non chiuderebbe la serie. La seconda strada ha, invece, il 25% di successo (casi MFM e FFM). Pertanto, limitandosi a una famiglia poco numerosa, va preferita la seconda strada.

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