39. Soluzioni dell’11 aprile 2022 – Una straordinaria famiglia ucraina

Le soluzioni dell’11 aprile 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri mattina abbiamo presentato sei giochi ideati dalla famiglia ucraina Grabarchuk e di seguito pubblichiamo le soluzioni. 

Una straordinaria famiglia ucraina . soluzioni 

1. Quale itinerario sulla cartina dell’Ucraina è più corto? Il verde: Uzhhorod – Lviv – Kyiv – Kharkiv. Il rosso: Khmelenytskyi – Odessa – Dnipro – Donetsk.

1. SOLUZIONE.  Si calcolano i vari tratti con il teorema di Pitagora. L’itinerario  rosso è leggermente più corto. 

  • Verde: (√2² + 2²) + (√7² + 1²) + (√6² + 1²) = √8 + √50 + √37 = 15,98
  • Rosso: (√4² + 5²) + (√5² + 3²) + 3 =  √41 + √34 + 3 = 15,24

2. Quale forma può essere esattamente coperta dai quattro trapezi sulla destra?

2. SOLUZIONE. La forma C. 

 

3. Quale triangolo ha l’area più grande?

3. SOLUZIONE.  La soluzione si può ottenere con diversi metodi. Possiamo calcolare l’area triangolo A 4*3/2 = 6u². Per gli altri due triangoli, possiamo procedere con Pitagora, calcolando i tre lati di ciascun triangolo e poi con il teorema di Erone trovare le rispettive aree. L’area di B ≈ 6u² e l’area di C ≈ 6,5 u². Il triangolo con l’area maggiore è C. 

Un altro procedimento porta a calcolare l’area del rettangolo, in cui ciascun triangolo e inscritto e poi sottrarre le aree dei triangoli bianchi. Ad esempio, per il triangolo C si calcola l’area del rettangolo 6 * 3 e poi si sottrae l’area dei tre triangoli rettangoli di cateti 2-1, 6-1, 5-3.  

Un ulteriore procedimento è l’utilizzo del teorema di Pick con il quale si può calcolare l’area di un poligono i cui vertici hanno, come nel nostro caso, coordinate intere.  

 

4. In quale esagono l’area nera e l’area bianca sono uguali?
4. SOLUZIONE. Dividiamo l’area di ogni esagono regolare in tanti triangolini equilateri. La forma B è composta da 12 triangolini bianchi e 12 neri.

 

5. Quale figura ha l’area maggiore?

5. SOLUZIONE.

  • Area A = 22π + π + π/2 = 11π/2
  • Area B = 22π + 1,52π/2 + π/2 = 11,25π/2
  • Area C = 22π/2 + 1,52π + 1,52π/2 =10,75π/2

La figura B ha l’area maggiore.  

 

6. Quale il rapporto tra area verde scuro e verde chiaro?

6. SOLUZIONE. Dividiamo idealmente l’esagono in sei triangoli equilateri e determiniamo le aree dei due colori per ciascun triangolo e infine calcoliamo il rapporto che è 5/13.

 


A lunedì prossimo

 

Una risposta

  1. Segnalo la proposta di soluzione al problema n. 3 “Quale triangolo ha l’area più grande?” di Massimo Molinelli con illustrazione del Teorema di Pick: “Semplice col Teorema di Pick, dove si sfrutta la formula seguente: A = i + (p/2) – 1 dove A = area dei ∆; i = punti interni ai ∆; p = punti perimetrali dei ∆.
    Dunque il △blu ha area 3 + (8/2) – 1 = 6; il △rosso ha area 4 + (6/2) – 1 = 6; il △giallo ha area 6 + (3/2) – 1 = 6,5.
    I risultati possono essere interi o seminteri. I punti da considerare sono le intersezioni tra tutte le linee orizzontali con le verticali, all’interno o sul perimetro delle figure interessate; ogni quadratino è unitario.
    Ugo Perillo ha aggiunto: “la cosa che mi ha sempre affascinato di questo teorema è che vale per qualsiasi poligono i cui vertici hanno coordinate intere”.
    Grazie per la collaborazione.

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