31. Soluzioni del 14 febbraio 2022 – La fiera delle illusioni e la magia matematica

Le soluzioni del 14 febbraio 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri mattina abbiamo presentato quattro giochi di “magia matematica” e ora pubblichiamo le soluzioni con le argomentazioni che svelano i “trucchi” matematici.

La fiera delle illusioni e la magia matematica – soluzioni 

1. Leggere il pensiero. Chiedete a un vostro amico di scegliere un numero e di moltiplicarlo per 2. Chiedetegli poi di moltiplicare quel prodotto per 5. Ora ditegli di dividere il risultato per il numero scelto all’inizio e infine chiedetegli di sottrarre 7 e con stupore annunciate che sul risultato è 3. Sapreste indicare il procedimento?

1. SOLUZIONE. Leggere il pensiero. Definendo n il numero scelto dal vostro amico, avremo [(n * 2 * 5) / n] = 10. Il valore di n è ininfluente, qualsiasi numero scelga il vostro amico il suo risultato sarà 10 e infine sottraendo 7 potete enunciare il numero 3.

2. Pensate a due numeri da 1 a 10. Sommateli e moltiplicate la somma per 10. Adesso aggiungete il più grande dei due numeri iniziali e sottraete il più piccolo dei numeri iniziali. Ditemi il numero a cui siete arrivati e io vi dirò i numeri di partenza! Sapreste svelare il procedimento?

2. SOLUZIONE Pensate a due numeri da 0 a 10. Per trovare il numero più grande, prendo l’ultima cifra della risposta e a questa sommo il numero che la precede poi divido per 2. Ad esempio se aveste scelto 7 e 5, avreste comunicato il numero 122.  Il numero più grande sarà: (2 + 12) / 2 = 7. Per quello più piccolo, prendo il numero appena calcolato e sottraggo l’ultima cifra della risposta data, per cui 7 – 2 = 5. Altri esempi: se la risposta fosse 82 i numeri sarebbero 5 e 3; se la risposta fosse 137 i numeri sarebbero 10 e 3.

Il procedimento è schematizzato di seguito indicando con X e con Y i due numeri con Y › X:

• a. X + Y
• b. 10(X + Y)
• c. 10(X + Y) + Y – X = Risultato che viene comunicato.
• Del risultato comunicato, le prime due cifre (centinaia e decine) sono la somma di X e Y, mentre l’ultima cifra (unità) è la differenza tra Y e X. Avremo quindi Y + X = cd e Y – X = u, dove c sta per centinaia, d per decine e u per unità. 
• Numero maggiore = [(X + Y) + (Y – X)]/2 = 2Y/2 = Y   
• Numero minore = Y – (Y – X) = Y – Y + X = X

Se volessimo rendere la sfida più difficile, magari utilizzando una calcolatrice, potremmo chiedere di scegliere i due numeri tra 1 e 100 e poi al punto 3 moltiplicarli per 100 anziché per 10. Ad esempio se si iniziasse con 42 e 17 ci verrebbe comunicato 5.925. In questo caso prenderemmo le ultime due cifre e calcoleremmo la media con il numero che le precede. Il numero grande sarà (59 + 25) / 2 = 42. Il numero piccolo si ottiene sottraendo le ultime due cifre al numero grande 42 – 25 = 17. Un altro esempio, se la risposta fosse 15.222, allora il numero maggiore sarebbe (152 + 22) / 2 = 87 e il numero minore 87 – 22 = 65.

3. Anticipazione di pensiero. Fate questo gioco di matematica invitando una persona o il pubblico a svolgere le seguenti operazioni:

• a) Scegliete un numero intero qualsiasi (ad esempio 145);
• b) moltiplicatelo per 2 (nel ns caso 145 x 2 = 290);
• c) aggiungete 5 al prodotto ottenuto (nel ns caso 290 + 5 = 295);
• d) moltiplicate per 5 la somma ottenuta (nel ns caso 295 x 5 = 1.475);
• e) aggiungete 10 al prodotto ottenuto (nel ns caso 1.475 + 10 = 1485);
• f) moltiplicate per 10 la somma ottenuta (nel ns caso 1.485 x 10 = 14.850);
• g) Ora chiedete il risultato finale ottenuto ed in pochi secondi sarete in grado di enunciare, nello stupore generale, quale numero era stato scelto all’inizio.

Sapreste indicare il procedimento?

3. SOLUZIONE Anticipazione di pensiero. Dal risultato che vi è stato comunicato sottraete 350. Il risultato sarà un numero che termina con due zeri; scartati questi due zeri, otterrete il numero da indovinare (nel ns caso 14.850 – 350 = 14.500 escludendo i due zeri otteniamo145).  La procedura si basa sulla formula matematica, dove N è il numero pensato all’inizio e R il risultato finale:

• R = [(2N + 5) * 5 + 10] * 10   svolgendo i calcoli
• R = (10N + 25 + 10) * 10
• R = 100N + 250 + 100
• Infine R = 100N + 350
• Per cui sottraendo 350 da R si ottiene 100N ovvero N seguito da due zeri. 

4. Numero di scarpa e età. Invitate una persona a svolgere le seguenti operazioni,  promettendole di indovinare il suo numero di scarpa e l’età.

• a) scriva il suo numero di scarpa senza considerare le mezze misure (per esempio 38);
• b) moltiplichi questo numero per 100 (nel ns caso 3.800);
• c) sottragga dal numero così ottenuto il suo anno di nascita (per esempio 1965 e quindi 3.800 – 1965 = 1.835);
• d) comunichi ad alta voce il risultato ottenuto (nel ns caso 1.835).
• A questo punto sarete in grado di enunciare il numero di scarpe e l’età compiuta o da compiere entro l’anno in corso, della persona che si è sottoposta al gioco. Sapreste indicare il procedimento?

4. SOLUZIONE. Numero di scarpa e età.  Sommate il valore dell’anno in corso al risultato che vi è stato comunicato; il risultato sarà costituito da un numero composta da quattro cifre: le prime due indicheranno il numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno l’età (nel ns caso 1.835 + 2022 = 3.857 da cui 38 e 57.

Per il procedimento, chiamando E l’età della persona, S il suo numero di scarpa, A il suo anno di nascita e R il risultato finale, avremo:

• R = S * 100 – A
• Inoltre definendo C l’anno in corso, l’età E è uguale alla differenza tra l’anno in corso e l’anno di nascita (E = C – A). Ora se si aggiunge C all’equazione precedente avremo:
• R + C = S * 100 – A + C, sostituendo con E:
• R + C = S * 100 + E

Essendo sia E che S numeri composti al massimo da due cifre (ipotizzando che il gioco non venga proposto ad un centenario) le prime due cifre del risultato finale rappresentano il numero di scarpe e le ultime due l’età.

A lunedì prossimo.