Le soluzioni del 6 aprile 2026 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato cinque problemi dedicati alla proporzione aurea φ (phi) = [(√5) + 1] / 2 = 1,618033… Una cifra che ha affascinato e continua ad affascinare numerose menti brillanti della storia della matematica. Le dimostrazioni richieste si possono ottenere in diversi modi, come ben evidenziato dagli ottimi commenti. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.
La bellezza della proporzione aurea – soluzioni
1. Due quadrati in un quarto di cerchio. Dimostrare che a/b = φ ossia il rapporto tra a e b dà il numero aureo 1,618.
1. SOLUZIONE. Indichiamo con r il raggio del quarto di cerchio, che è anche la diagonale del rettangolo, come disegnato in figura con il tratteggio. Con Pitagora avremo r2 = a2 + (a/2)2 = (4a2 + a2)/4 = 5a2/4. Da cui r = a(√5)/2
Sappiamo anche che r = b + a/2, quindi b = r – a/2. Sostituendo b = a(√5)/2 – a/2. Ora raccogliamo (a/2) quindi b = (a/2) [√(5) – 1]. Ora mettiamo a rapporto a/b = a / (a/2) [√(5) – 1]. Semplificando a/b= 2 / [(√5) – 1]. Infine si razionalizza, moltiplicando numeratore e denominatore per [(√5) + 1] e si ottiene la formula classica del numero aureo a/b= [(√5) + 1] / 2 = 1,618033….
2. Un quadrato, un triangolo e un cerchio. Dimostrare che a/b = φ ossia il rapporto tra a e b dà il numero aureo 1,618.
2. SOLUZIONE. Ipotizziamo che i lati del quadrato misurino 2, quindi a + b = 2. In riferimento alla figura seguente, con Pitagora si calcola l’ipotenusa AC2 = 22 + 12 quindi AC = √5. I triangoli AHC e ADO sono simili perché rettangoli e con un angolo in comune in A, perciò AC : 1 = (b + a/2) : (a/2). Svolgendo e sostituendo avremo AC = (b + a/2) / (a/2) che diviene AC = (b + a/2) • 2/a poi AC = 2b/a + 1. Sappiamo che AC = √5 quindi a = 2b / [√(5) – 1] quindi a/b = {2b / [(√(5) – 1)]} / b che semplificando diviene 2 / [√(5) – 1]. Infine si razionalizza, moltiplicando numeratore e denominatore per [(√5) + 1] e si ottiene la formula classica del numero aureo a/b= [(√5) + 1] / 2 = 1,618033….
3. Sei quadrati e due quarti di cerchio. Dimostrare che AB/BC = φ ossia il rapporto tra AB e BC dà il numero aureo 1,618.
3. SOLUZIONE. Ipotizziamo che i lati dei quadrati, che sono anche i raggi dei quarti cerchio, misurino 1. Avremo AB = 2. In riferimento alla figura seguente, con Pitagora calcoliamo OC2 = 22 + 12 quindi OC = √5. Ora BC = √(5) – 1. Infine AB/BC = 2/[√(5) – 1] =. Ora si razionalizza, moltiplicando numeratore e denominatore per [(√5) + 1] e si ottiene la formula classica del numero aureo a/b= [(√5) + 1] / 2 = 1,618033….
4. Tre cerchi. I raggi dei due cerchi piccoli sono MP = NP. Il raggio del cerchio grande è MC. Dimostrare che AB/CD = φ ossia il rapporto tra AB e CD dà il numero aureo 1,618.
4. SOLUZIONE. Ipotizzando che i raggi MP = NP misurino 1, avremo CD = 2. Inoltre AB = 1 + MB. Con Pitagora calcoliamo l’ipotenusa MD del triangolo rettangolo NDM che è anche il raggio del cerchio grande, MD2 = 22 + 12 da cui MD = √5. Ora MD = MB quindi AB = MB + 1 = √(5) + 1. Infine AB/CD = [√(5) + 1] / 2. Si razionalizza, moltiplicando numeratore e denominatore per [(√5) + 1] e si ottiene la formula classica del numero aureo a/b= [(√5) + 1] / 2 = 1,618033…
5. Tre cerchi uguali con centri in A, B e N. Dimostrare che PQ/QN = φ ossia il rapporto tra PQ e QN dà il numero aureo 1,618.
5. SOLUZIONE. Ipotizziamo che il raggio dei tre cerchi misuri 1. Come schematizzato in figura, con Pitagora avremo ON = √(AN2 – AO2) sostituendo ON = √[22 – (1/2)2] = √(15/4). Ancora con Pitagora OQ = √(AQ2 – AO2) sostituendo OQ= √[12 – (1/2)2] = √(3/4).
PQ = 2 √(3/4) = √3
QN = ON – OQ = √(15/4) – √(3/4) = (½)√15 – (½)√3 = (√15 – √3)/2
Infine PQ/QN = √3/[(√15 – √3)/2] svolgendo PQ/QN = 2√3/[√(15) – √(3)] raccogliendo a denominatore PQ/QN = 2√3/{√3[√(5) –1]} semplificando PQ/QN = 2/ [√(5) –1]. Infine si razionalizza, moltiplicando numeratore e denominatore per [(√5) + 1] e si ottiene la formula classica del numero aureo a/b= [(√5) + 1] / 2 = 1,618033…. = 1,618.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
