Soluzioni del 9 febbraio 2026 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato un problema relativo alle reti di comunicazione e alle bolle di sapone e di seguito riproponiamo il problema con la nostra proposta di soluzione.
Intelligenza e bolle di sapone.
Quattro città sono situate ai vertici di un quadrato, come mostrato di seguito:
Qual è il sistema stradale che collega tutte e quattro le città utilizzando la lunghezza totale minore?
Illustriamo, a titolo di introduzione, una serie di risposte sbagliate e un suggerimento.
1. Collegamento mediante un quadrato. Ipotizzando che il lato del quadrato misuri 1 il percorso misura 4 che non è un minimo.
2. Collegamento mediante una circonferenza. Il percorso misura π • √2 = 4,44.
3. Collegamento a forma di U. Il percorso misura 3 che non è ancora un minimo inoltre comporta notevoli difficoltà per le due città in alto nel disegno.
4. Collegamento mediante una X. Il percorso misura 2 • √2 = 2,83. 
Sebbene il collegamento a X sia il più breve, tra quelli visti sopra, non è la soluzione ottimale. Esiste un percorso ancor più breve. Sapreste trovarlo?
Suggerimento. La soluzione matematica non è facile (occorre il calcolo infinitesimale) ma suggeriamo un’ipotesi intuitiva basata sulle bolle di sapone. Se realizziamo un modello in plastica del problema (tipo un “toast” in cui la “il pane” è costituito da due pezzi di plexiglas e il “ripieno” da quattro piccoli tasselli di uguale lunghezza, posizionati agli angoli di un quadrato) e lo mettiamo in una ciotola di acqua saponata, si formeranno delle bolle attorno ai tasselli che sorprendentemente mostreranno la soluzione. La natura trova la struttura minima all’istante. Il modello in plastica è come un computer analogico. Infatti, la soluzione assomiglia a una semplice forma geometrica che appare spesso nel mondo reale in un ambiente molto familiare.
SOLUZIONE. La rete minima ha la forma disegnata in figura seguente con una lunghezza totale di circa 2,73 che riduce di circa il 4% la misura della soluzione a X. I tre angoli nei due punti di intersezione sono di 120°.
La dimostrazione teorica che questo schema è minimo richiede il calcolo infinitesimale avanzato, ma è possibile trovare la risposta, più semplicemente, utilizzando le bolle di sapone. Come suggerito, se si realizza un modello in plastica (tipo una “toast” in cui la “il pane” è costituito da due pezzi di plexiglas e il “ripieno” da quattro piccoli tasselli di uguale lunghezza, posizionati agli angoli di un quadrato) e lo si mette in una ciotola di acqua saponata, si formeranno delle bolle attorno ai tasselli che sorprendentemente mostreranno la soluzione.
Si creerà una pellicola di sapone, vedi fotografia, che cercherà di ridurre al minimo la sua energia libera e quindi al minimo la sua superficie indicando così il collegamento più breve. Le strade si intersecano a 120° creando due punti interni al quadrato, chiamati punti di Steiner, che determinano il nostro percorso mimino.
E questo vale anche se prendiamo tre città collocate ai vertici di un triangolo equilatero, si crea un punto di Steiner al centro del triangolo, con tre strade sempre collegate tra loro a 120° come schematizzato in figura. Per le nostre quattro città avremo due punti di Steiner. Per cinque città avremo 3 punti di Steiner. Per sei città avremo 4 punti e via di seguito. Il risultato per otto città comporta un’interessante osservazione: la misura interna non è la minima, infatti il perimetro dell’ottagono risulta leggermente più piccolo, ciò significa che la soluzione interna è un minimo locale e quindi vanno verificate altre possibilità.
Questa è una delle più efficaci dimostrazioni di come la natura risolva senza sforzo problemi di ottimizzazione che altrimenti richiederebbero calcoli complessi.
Abbiamo accennato a una semplice forma geometrica che appare spesso nel mondo reale in un ambiente molto familiare. Ci riferiamo agli alveari: gli angoli nei punti di intersezione sono tutti di 120°, determinando esagoni regolari, che sono la risposta naturale al problema di immagazzinare la massima quantità di miele e polline con la minore quantità di cera possibile, rendendo il favo robusto e durevole. Fantastico!
Il problema è diventato noto come problema di Steiner, dal nome del matematico del XIX secolo Jacob Steiner che lo studiò, ma fu il matematico Richard Courant, negli anni ’40, a diffondere l’approccio analogico alla soluzione di questi problemi.
Segnaliamo l’interessante video dal quale è tratta la fotografia del ricercatore James Grime. https://youtu.be/dAyDi1aa40E
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
6 risposte
Ora basta, credo di aver commentato abbastanza.
Aggiungo che il problema pratico si risolve creando almeno 4 corsie nel tratto rettilineo centrale, o una rotonda, ma in entrambi i casi il percorso si allunga con le corsie solo per chi percorre quelle più esterne, con la rotonda si allunga per tutti e se infine pensassimo a sovrappassibo o sottopassi, per qualcuno si allungherebbe comunque… Ragionamento intuitivo e per nulla matematico.
Aggiungo che il problema pratico si risolve creando almeno 4 corsie nel tratto rettilineo centrale, o una rotonda, ma in entrambi i casi il percorso si allunga con le corsie solo per chi percorre quelle più esterne, con la rotonda si allunga per tutti
Insisto:
Che senso ha trovare il percorso più breve, se poi partendo contemporaneamente dai 4 punti ci si scontra al centro?
La soluzione di un problema matematico per me non serve se non risolve un problema pratico.
Grazie a te, Sergio per il contributo, le rielaborazioni e gli stimolanti approfondimenti.
Problema profondo e interessante nei collegamenti interdisciplinari, qui magnificamente spiegato, mi resta da capire come si configura la soluzione al crescere di n, per n più grande di 8 dove appare la discrepanza come un punto di rottura fondamentale tra suggerimento fisico e teoria matematica sui punti di Steiner. Per n>>8 la soluzione tende forse alla circonferenza, pare evidente che per n>6.28 la soluzione interna è maggiore di quella che “abbraccia” il poligono, ma è dimostrato?
Grazie a Fabio Ciuffoli per avercelo proposto e approfondito!