I Giochi del Lunedì di Prisma del 6 aprile 2026 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi proponiamo cinque problemi dedicati alla proporzione aurea il famoso φ (phi) = 1,618. Questa cifra ha affascinato nel corso della storia più menti brillanti di quanto non abbiano fatto gli altrettanto famosi π (pi greco); e (il numero di Eulero-Nepero); √2 (la diagonale di un quadrato) ecc. Per secoli è stato chiamato con i nomi più seducenti: sezione aurea, proporzione trascendentale, numero divino, divina proporzione, numero dell’armonia e dell’equilibrio. In ogni caso, il numero aureo, abita in un territorio fatto di relazioni e proprietà incredibili e di connessioni insospettate fra la natura e la creazione dell’uomo. I problemi seguenti, al di là delle formule matematiche, si possono leggere anche come brevi narrazioni nel tentativo di sfiorare l’ineffabile bellezza della proporzione aurea. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni, soluzioni e commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre proposte di soluzione.
La bellezza della proporzione aurea
1. Due quadrati in un quarto di cerchio. Dimostrare che a/b = φ ossia il rapporto tra a e b dà il numero aureo 1,618.
2. Un quadrato, un triangolo e un cerchio. Dimostrare che a/b = φ ossia il rapporto tra a e b dà il numero aureo 1,618.
3. Sei quadrati e due quarti di cerchio. Dimostrare che AB/BC = φ ossia il rapporto tra AB e BC dà il numero aureo 1,618.
4. Tre cerchi. I raggi dei due cerchi piccoli sono MP = NP. Il raggio del cerchio grande è MC. Dimostrare che AB/CD = φ ossia il rapporto tra AB e CD dà il numero aureo 1,618.
5. Tre cerchi uguali con centri in A, B e N. Dimostrare che PQ/QN = φ ossia il rapporto tra PQ e QN dà il numero aureo 1,618.
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
Grazie a Luc Gheysen, belga di Kuurne nelle Fiandre Occidentali, moderatore e co-amministratore di Geometria Super Top, Club di Matematica.
Immagine in evidenza – Credito fotografico Rafael Araujo – Conchiglia piatta.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
14 risposte
Posto 2.x il lato del quadrato i lati uguali del triangolo risultano : l=x.rad(5) . Il raggio del cerchio inscritto è : r=S/p con S=2.x^2 e p=x.(1+rad(5) per cui: r=2.x/(1+rad(5)). Risulta così: a=2.r=4.x/(1+rad(5)) e b=2.x.(rad(5)-1)/(1+rad(5) e infine: a/b=(rad(5)+1)/2.
P5. Sia r il raggio di ciascun cerchio, AB=r e poiché il cerchio con centro in N è tangente ai cerchi A e B, la distanza tra i centri è la somma dei raggi: AN=2r. Ricaviamo la corda nella Vesica Piscis (intersezione dei primi due cerchi) con Pitagora: r^2=(r/2)^2+OP^2 da cui PQ=2*OP=r*√(1-1/4)=r*√3. Sempre con Pitagora abbiamo NO^2+(r/2)^2=AN^2=4r^2 e quindi NO^2=4r^2-r^2/4=15*r^2/4, NO=√15*r/2.
Poiché QN=NO-PQ/2 si ha QN=√15*r/2-√3*r/2=(√5-1)*√3*r/2 e quindi PQ/QN = 2/(√5-1) = 2*(√5+1)/(√5-1)/(√5+1) = 2*(√5+1)/(5-1) = (√5+1)/2 = φ esattamente phi.
Q.E.D.
I triangoli XYZ e TWZ (figura) sono simili, quindi TW=b/2 e ZW=(b/2)rad(5); WU=TW=b/2, perché segmenti di tangente da un punto esterno. Così, ZU=(b/2)(rad(5)+1). Per il teorema di tangente e secante: (b^2/4)(rad(5)+1)=ab+b^2, da cui (b/2)(3+rad(5))=a+b, cioè a=b(rad(5)+1) e infine (a/b)=rad(5)+1.
Quesito 1.
a² + (a/2)² = (b+a/2)²;
(√5/2)a = b + a/2;
a(√5 – 1)/2 = b;
a/b = 2/(√5 – 1) = 2(√5 + 1)/4 = (1 + √5)/2 = φ
P4. Sia r il raggio dei due cerchi piccoli. Dall’immagine vediamo che: MP = NP = r, la distanza tra i centri dei due cerchi piccoli è MN = MP + NP = 2r = CD, mentre AB=MC+r dove MC è il raggio del cerchio grande che ricavo con Pitagora: MC^2=(2r)^2+r^2=5r^2, MC = r*√5. Coi valori nel rapporto richiesto: AB/CD=(MC+r)/2r=(r√5+r)/(2r)=(√5+1)/2 si ha esattamente il valore numerico di phi. Q.E.D.
3. Assumiamo che il lato dei quadratini sia unitario (tanto ci interessa il rapporto delle dimensioni). Chiamo O il punto centrale di AB e H il punto sulla base. L’ipotenusa del triangolo rettangolo HOC vale √(2²+1²)=√5. Per avere il segmento celeste BC sottraggo il raggio unitario per cui ottengo √5-1. Quindi il rapporto tra AB=2 e BC vale 2/(√5-1)=1.618
n. 1.
a^2 + a^2/4 = (a/2 + b)^2
Ora basta risolvere rispetto a x = a/b
P3. Considera che sia AB=2r, mentre BC si ricava con Pitagora: (BC+r)^2=r^2+(2r)^2 da cui BC^2+2r*BC+r^2=5*r^2 o BC^2+AB*BC=4*r^2=(2r)^2=AB^2 quindi dividendo entrambi i membri dell’uguaglianza per AB^2 si ha (BC/AB)^2+BC/AB-1=0. Posto x=BC/AB abbiamo l’equazione x^2+x-1=0 che dà come soluzione positiva x = (√5-1)/2.
Ancora una volta si ha AB/BC = 1/x = 2/(√5-1) = 2*(√5+1)/(√5-1)/(√5+1) = 2*(√5+1)/(5-1) = (√5+1)/2 = φ esattamente phi.
P2. Sia L la lunghezza del lato del quadrato e r sia il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo che si calcola dividendo l’area (A) del triangolo per il suo semiperimetro (p), dato dalla metà della somma dei lati del triangolo, quindi: A=L^2/2, r=A/p dove p=(L+2*c)/2 e il lato obliquo c=√(L^2 + (L/2)^2) = √(5L^2/4) = L*√5/2 ricavato con Pitagora. Dunque si ha r=L/(1+√5). Ora sostituiamo r nelle espressioni di a=2r e b=L-2r si ottiene che a=2L/(1+√5) e b=L-2L/(1+√5)=L*(√5-1)/(1+√5) per cui si ha il rapporto a/b=(2L/(1+√5))/(L*(√5-1)/(1+√5)) che semplificato e razionalizzato è a/b=2/(√5-1)=2*(√5+1)/(√5-1)/(√5+1) = 2*(√5+1)/(5-1) = (√5+1)/2 = φ esattamente phi.
Q.E.D.
P1. Sia s il lato del quadratino e r il raggio del cerchio, con Pitagora ho r^2 = (2s)^2 + s^2 = 4s^2 + s^2 = 5s^2, r = s*√5. Sostituiamo i valori trovati nell’espressione del rapporto: a/b = 2s/(r-s) = 2/(√5-1) e poi si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per (√5+1) ottenendo:
a/b = 2/(√5-1) = 2*(√5+1)/(√5-1)/(√5+1) = 2*(√5+1)/(5-1) = (√5+1)/2 = φ che è esattamente la definizione matematica del numero aureo phi. Q.E.D.
Ottimo Sergio, come sempre chiarissimo.
Grazie Fabio,
sai bene quanto apprezzo questo rapporto tra gli altri che avevo illustrato anche qui
https://www.matmedia.it/matematica-natura-e-tradizioni-alpine
Grazie Sergio per il contributo. Interessante articolo sui ‘rapporti metallici”, natura, arte e tt la geometria svelata.
Prob. 1. R = (rad(5)/2) * a = a/2 + b -> b/a = (rad(5)-1)/2 -> a/b = 2/(rad(5)-1) =(rad(5) + 1)/2.