11. Soluzioni del 20 settembre 2021 – Controllo passaporti

La soluzione del 20 settembre 2021 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri mattina abbiamo proposto un problema di probabilità, controllo dei passaporti e ora presentiamo la soluzione. 

Controllo passaporti – soluzione


Supponiamo che un viaggiatore su 10.000, controllato dall’Ufficio Passaporti all’aeroporto di Roma Fiumicino, abbia il passaporto non valido e che l’Ufficio sia molto efficace nel rilevarlo. Quando si presenta un passeggero, con passaporto non valido, un agente lo ritira 99 volte su 100. I viaggiatori trovati con documenti non validi vengono trattenuti in una cella. L’Ufficio, per errore, ferma occasionalmente qualche passeggero il cui passaporto è perfettamente valido. Questi “falsi positivi” si verificano lo 0,1% dei controlli.

Qual è la percentuale di viaggiatori, inviati in cella, che hanno effettivamente un documento non valido?

 

SOLUZIONE. Tra le persone inviate in cella, solo il 9% ha un passaporto non valido. In altri termini è molto più probabile che le persone inviate in cella di contenimento siano lì per errore. Il modo più semplice, per risolvere il problema, è immaginare 10.000.000 viaggiatori. Di questi, 1 su 10.000 ovvero 1.000 persone, viaggiano senza passaporto valido. Di di queste 1.000 persone, 990 saranno inviati in cella, mentre i rimanenti 10 non vengono individuati. I restanti 9.999.000 viaggiatori hanno documenti validi. Di questi lo 0,1%, quindi 9.999, viene inviato erroneamente in cella. In totale ci saranno 990 + 9.999 = 10.989 persone inviate nelle celle e 9.999 di loro saranno state lì per errore. In sintesi, solo 990/10989, o circa il 9% dei trattenuti in cella ha una documentazione errata. Presentiamo un diagramma riassuntivo e la soluzione algebrica, utilizzando il teorema di Bayes sulla probabilità condizionata.

  • 0,01/100 * 99/100 = 0,0099% (percentuale di passeggeri che finiscono in cella una volta verificato il passaporto non valido)
  • 99,99/100 * 0,1/100 = 0,09999% (percentuale di passeggeri che finiscono in cella una volta verificato il passaporto valido)
  • 0,0099 + 0,09999 = 0,10989% (percentuale di passeggeri che finiscono in cella)
  • 0.0099 / 0,10989 = 9,009009% (percentuale di passeggeri che finisce in cella con il passaporto non valido).

Questa percentuale, sorprendentemente bassa di ipotetici rilevamenti corretti, ha importanti conseguenze nel mondo reale. Ad esempio in medicina, nei programmi di screening, quando la prevalenza di una malattia è relativamente bassa in una popolazione, anche un tasso relativamente basso di falsi positivi significherà che la stragrande maggioranza delle persone, richiamate per ulteriori test, non avrà la malattia. Nessun test è perfetto e i falsi positivi sono spesso molto più comuni di quelli veri.


A lunedì prossimo. 

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