127. Soluzioni del 15 luglio 2024 – L’istinto matematico
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I Giochi del Lunedì di Prisma dell’11 settembre 2023 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo tre giochi proposti dal matematico colombiano Bernardo Recaman Santos nel suo ottimo libro, I rompicapo di Bogotà, da poco pubblicato in Italia. L’autore scrive sommessamente nell’introduzione: “Ho preso ispirazione da altre collezioni della stessa tipologia, come le illustri The Canterbury Puzzle, The Moscow Puzzle e The Tokyo Puzzle, ma non mi permetto di paragonare il mio risultato a quello delle opere appena citate” ma noi sappiamo che l’umiltà è una dote delle grandi menti. Il problema dei tre contadini è famoso per eleganza, rigore e complessità. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio riservato ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
I rompicapo di Bogotà
1. Bernardo e Filippo lasciano ciascuno la propria casa nello stesso momento e si dirigono uno verso casa dell’altro in bicicletta. Tengono una velocità costante e quando si incrociano sono a 16 km dalla casa di Bernardo. Continuano ognuno fino a casa dell’altro e poi, tornando indietro verso casa propria, per lo stesso percorso e alla stessa velocità dell’andata, si incontrano a 18 km dalla casa di Filippo. A che distanza sono le due case?
2. Una barca a motore impiega tre giorni per andare dal punto A al punto B di un fiume e impiega quattro giorni per tornare indietro. Quanto impiega un tronco d’albero per essere trasportato dalla corrente del fiume dal punto A al punto B? [si presuppone una condizione ideale: velocità della barca costante, corrente costante, assenza di ostacoli, ecc]
3. Tre contadini sono al mercato per vendere polli. Un contadino ha 10 polli da vendere, un altro ne ha 16 e l’ultimo 26. Per non farsi troppa concorrenza, si sono accordati nel vendere i polli tutti allo stesso prezzo. Ma fino all’ora di pranzo le vendite non sono andate bene, così hanno deciso di abbassare tutti insieme il prezzo, sempre comune a tutti e tre. Alla fine della giornata hanno venduto tutti i polli e ognuno di loro ha incassato esattamente 35 euro. Qual è stato il prezzo dei polli prima di pranzo e quello dopo pranzo?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I giochi sono tratti dal libro I rompicapo di Bogotà – Enigmi e problemi per aguzzare la mente di Bernardo Recaman, Scienza Express edizioni, Trieste, 2023. Il problema dei tre contadini è stato selezionato dalla medaglia Fields Terence Tao nel suo blog: ha 3 sole equazioni e ben 5 incognite ma con un po’ di accortezze si riesce a risolvere in maniera univoca.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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15 Responses
Problema 2. 30 km
V_B*t = 16
V_F*t = D – 16
V_B*t1 = D + 18
V_F*t1 = 2D – 18
V_F/V_B = (D – 16)/16 = (2D – 18)/(D + 18)
D^2 + 18D – 16D -16*18 = 32D – 16*18
D^2 + 2D = 32D
D = 30
Gioco N. 2 vedi allegato
Gioco N. 1 vedi allegato
Problema 1.
“Tengono una velocità costante” per me è ambiguo. Può significare che Filippo ha per tutto il tragitto una velocità costante e uguale a quella di Bernardo o che Filippo è Bernardo hanno velocità differenti e ciascuno la mantiene costante per tutto il tragitto. Nel primo caso non sembra un grosso rompicapo, quindi opterei per la seconda interpretazione.
Grazie per il commento che mette in evidenza un aspetto critico del testo, tradotto così in italiano. Comunque è da intendersi: “Tengono una velocità costante ossia Filippo ha per tutto il tragitto una velocità costante e uguale a quella di Bernardo”.
Dalla soluzione fornita, l’interpretazione del testo non può essere “Tengono una velocità costante ossia Filippo ha per tutto il tragitto una velocità costante e uguale a quella di Bernardo” come suggerito, ma “Ciascuno tiene una velocità costante, diversa dalla velocità dell’altro”. Altrimenti si sarebbero incontrati a metà strada.
Hai ragione, è esattamente così, “ciascuno a velocità costante ma diversa dalla velocità dell’altro.”
1. 30 km
2. 24 giorni
Ottimo a domani per le soluzioni commentate.
Giusto!
1 Perché ci sia soluzione bisogna supporre che il primo incontro avvenga più vicino alla casa di Filippo, a una distanza dalla casa di Bernardo pari a x+y=16. Il secondo incontro comporta y+z=18 e l’incognita è chiaramente x+y+z. Dal rapporto vB/vF si ottiene 16/z=(x+36)/(2x+18), che comporta y=34 (non accettabile) e y = 4. Mettendo insieme a x= 12 e z= 14 si ottiene la distanza tra le case: 30 km.
2 Dalla relazione 3(vM+vC) = 4(vM-vC) si ottiene che la velocità data dal motore vale 7 volte quella della corrente. A questo punto da L/(8vC) = 3 oppure da L/(6vC) = 4 si ricava L/vC: il tronco impiegherà 24 giorni.
Ottimo, a domani per le soluzioni commentate.
Problema 1.
Le due case distano 30km.
E se non erro, Filippo è 1/8 più lento di Bernardo.
Problema 1.
Le due case distano 30km.
E se non erro, Filippo è 1/8 più lento di Bernardo.
Ottimo, infatti Bernardo percorre 16 km e nello stesso tempo Filippo ne percorre 14 ….
A domani per le soluzioni commentate.
Soluzione proposta da Giorgio Vecchi al N. 3.
Prezzo prima: 3.75 Prezzo dopo: 1.25
9 * 3.75 + 1 * 1.25 = 35
6 * 3.75 + 10 * 1.25 = 35
1 * 3.75 + 25 * 1.25 = 35