101. Giochi del 17 luglio 2023 – Il numero più grande e un furto di mochi

I Giochi del Lunedì di Prisma del 17 luglio 2023 a cura di Fabio Ciuffoli

Oggi presentiamo due giochi proposti da Tadao Kitazawa, autore giapponese di 59 anni che vive a Nagano, dove scrive libri di storia locale e enigmi per Konwakai News, il bollettino mensile dell’Accademia di Matematica Ricreativa del Giappone. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio riservato ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.

Il numero più grande e un furto di mochi

 1. Il numero più grande. A tre ragazze, Akari, Sakura e Yui, viene consegnato un foglietto con numero intero positivo in modo che ciascuna di loro possa vedere solamente il proprio numero. Viene detto loro che la somma dei tre numeri è 12, inoltre c’è la possibilità che una, due o tutte e tre abbiano il numero più grande. Alle tre ragazze, riunite in una stanza, si chiede: “Chi di voi ha il numero più grande?”

  • Akari dice: “Non so chi abbia il numero più grande”.
  • Sakura dice: “Non so ancora chi abbia il numero più grande”.
  • Yui dice: “Non so ancora chi abbia il numero più grande”.
  • Akari dice: “Ora so chi ha il numero più grande!”.

Chi ha il numero più grande?

2. Un furto di mochi. La Regina di Cuori aveva preparato 13 mochi (tortini giapponesi a base di riso) ma i quattro Fanti li hanno rubati tutti. E’ stato accertato che i Fanti sono entrati uno per volta in cucina e ciascuno di loro ne ha rubato almeno uno e un numero intero. Inoltre il Fante di Cuori ha confessato di avere rubato un numero dispari di mochi, mentre il Fante di Quadri ha confessato di averne rubato un numero pari. Infine, il Fante di Picche ha confessato di avere rubato due terzi dei mochi che ha trovato, mentre il Fante di Fiori ne ha rubati un quarto. Quale tra i quattro Fanti ha rubato più mochi?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.

I problemi sono tratti e riadattati dal libro Arithmetical, Geometrical and Combinatorial Puzzles di Tadao Kitazawa, 2021. 

18 Responses

  1. Il numero più grande. Il ragionamento che si può fare è il seguente:
    – visto che tutti hanno risposto di non saperlo, nessuno può avere il 6 o un numero maggiore, perché sarebbe ovviamente il numero maggiore.
    – Nessuno può avere l’1, perché in tal caso, almeno uno degli altri 2 dovrebbe avere un numero maggiore o uguale a 6.
    – Ne segue che i numeri possibili per ciascuno vanno dal 2 al 5, compresi gli estremi.
    – Akari ha detto di saperlo, dunque ha un numero che non lascia dubbi.
    – Se Akari avesse il 5, non può decidere perché ci sarebbero più possibilità: 5 5 2; 5 2 5; 5 3 4; ..
    – in tutti gli altri casi ci sono più possibilità, tranne uno: 2 5 5, perché, con tutte le premesse, se Akari ha il 2, la somma degli altri 2 deve essere 10, ma non potendo esserci il 6 o più, c’è una sola possibilità: 5 5.

  2. 1. 1. Dopo la prima affermazione di Akari, Sakura e Yui deducono che Akari debba avere un numero minore di 6: se cosi non fosse, avrebbe dovuto infatti affermare di conoscere chi ha il numero maggiore (dicendo di averlo essa stessa); dunque Akari ha un numero compreso fra 1 e 5.

    2. Dopo l’affermazione di Sakura, Akari e Yui deducono che anche Sakura debba avere un numero minore di 6 (per le medesime ragioni esposte sopra) ma che questo non possa essere il numero 1, giacché questo porterebbe Sakura a concludere che Yui debba avere necessariamente il numero 6 e dunque ad affermare di conoscere chi ha il numero maggiore (ovvero Yui); dunque Sakura ha un numero compreso fra 2 e 5. Inoltre, entrambe Akari e Sakura deducono che neanche Yui possa avere il numero 1, poiché questo implicherebbe che l’una o l’altra (Akari o Sakura) abbia un numero maggiore o uguale a 6 (ipotesi già scartata).

    3. Dopo l’affermazione di Yui, Akari e Sakura deducono che anche Yui debba avere un numero minore di 6 (per le medesime ragioni esposte al punto 1.) e che questo, oltre a non poter essere uguale a 1 (per quanto esposto al punto 2.) non possa essere nemmeno uguale a 2, giacché questo porterebbe Yui a concludere che Akari e Sakura abbiano entrambe un 5, e quindi ad affermare di conoscere chi ha il numero maggiore (cioè entrambe Akari e Sakura). Dunque Yui ha un numero compreso fra 3 e 5. Inoltre, Sakura e Yui deducono anche che Akari non possa avere il numero 1, giacché questo implicherebbe che l’una o l’altra (Sakura o Yui) abbia un numero maggiore o uguale a 6.

    4. Akari (che ha dunque un numero compreso fra 2 e 5) afferma infine di aver capito con certezza chi ha il numero maggiore. Da questa affermazione di certezza, si deduce che:

    4a) Akari non ha il numero 5. Infatti, se Akari avesse il 5, le 3 possibili permutazioni residue sarebbero [(Sakura, Yui) = (2, 5) o (4, 3) o (3, 4)]. Nella prima permutazione, Akari dovrebbe affermare che ad avere il numero maggiore sono Akari stessa insieme a Yui; mentre nella seconda e terza permutazione sarebbe Akari da sola ad avere il numero maggiore; ma Akari afferma di sapere con certezza chi ha il numero maggiore, quindi Akari non può avere il numero 5.

    4b) Akari non ha il numero 4. Infatti, se Akari avesse il numero 4, le 3 possibili permutazioni residue sarebbero [(Sakura, Yui) = (4, 4) o (5, 3) o (3, 5)]: nessuna di queste darebbe ad Akari la certezza di affermare chi sia ad avere il numero maggiore.

    4c) Akari non ha il numero 3. Infatti, se Akari avesse il numero 3, le 2 possibili permutazioni residue [(Sakura, Yui) = (4, 5) o (5, 4)] non le darebbero alcuna certezza di chi abbia il numero maggiore.

    4d) Non potendo avere il numero 1, Akari ha necessariamente il numero 2. Infatti, osservando il numero 2 sul suo biglietto, ella deduce subito che l’unica possibilità è che entrambe Sakura e Yui abbiano il numero 5.

    Soluzione: Akari afferma con certezza che ad avere il numero maggiore sono entrambe Sakura e Yui. (Akari, Sakura, Yui) = (2, 5, 5).

  3. Gioco 2: concordo con la soluzione Fante di cuori =5 e con le dimostrazioni date.
    Gioco 1: se in prima battuta nessuna delle tre ragazze sa chi ha il numero più grande significa come minimo che tutte e tre hanno numeri minori o uguali a 5. Restano quindi solo 3 disposizioni a prescindere dall’ordine: 5-5-2, 5-4-3 e 4-4-4.
    Se la prima ragazza al secondo giro sa chi ha il numero più grande non può avere ne 5 ne 4 ne 3 perché se avesse 5 non saprebbe se una delle altre ne ha un altro, se avesse 4 no saprebbe se le altre hanno tutte 4 o una delle due ha 5, se avesse 3 non saprebbe chi delle altre ha il 5. Se invece ha 2 le altre due ragazze hanno entrambe 5 che è il numero più alto.

  4. Il fante di Cuori
    FP=2/3(3,6,9 o12)=2,4,6 o 8 (lasciandone 1,2,3 o 4) Non può essere stato il primo (perché 13*2/3 non è intero), né l’ultimo (ne avrebbe lasciati 1/3)
    FF=1/4(4,8 o 12)=1,2 o 3 (lasciandone 3,6 o 9) Non può essere stato il primo (perché 13/4 non è intero), né l’ultimo (ne avrebbe lasciati 3/4)
    FQ=2,4,6,8 o 10 E’ primo o ultimo. 10 è da scartare perché la somma dei minimi degli altri permette di accedere fino a 9.
    Si osserva poi che FQ non può essere stato il primo perché ne avrebbe lasciati 11,9,7 o 5 nessuno adatto ai due intermedi FP e FF
    Dunque è stato l’ultimo
    FC=1,3,5,7 o 9 e primo, ma 9 è scartare perché la somma dei minimi degli altri vale 5. Dunque ne lascia 12,10,8 o 6 al secondo
    Ma nessuno tra FC e FP accede a 10 dunque FC=1,5 o 7 lasciandone 12, 8 o 6
    Se FP fosse secondo accedendo a 6 ne lascerebbe solo 2, insufficienti per il terzo e quarto. Inoltre si avrebbe FC=1, FP=8, FF=1, FQ=3 non accettabile perché pari
    Allora FC=1 o 5, FF=3 o 2, FP=6 o 4, FQ=3 o 2 ma 3 è da scartare
    In conclusione FC=5 ha rubato più mochi, FF=2, FP=4, FQ=2

    1. Buonasera. Una soluzione alternativa rispetto a quella fornita da Antonio Caruso può essere la seguente.

      Il primo non può essere il Fante di Picche (perchè 13 non è divisibile per 3) nè il Fante di Fiori (perché 13 non è divisibile per 4)
      Inoltre, l’ultimo non può essere nè il Fante di Picche nè quello di Fiori perché altrimenti, non resterebbero 0 mochi.

      Ora, indichiamo con x il numero di mochi rimasti dopo l’ingresso del primo fante (che può essere quello di Cuori oppure quelllo di Quadri).
      Indichiamo con y il numero di mochi rimasti prima dell’ingresso dell’ultimo fante (che può essere quello di Cuori oppure quelllo di Quadri).
      Sia che il secondo fante sia quello di picche che sia quello di fiori, avremo che:

      y = x – (2/3)*x – (1/4)(x – (2/3)*x) = (1/4)*x
      y = x – (1/4)*x – (2/3)(x – (1/4)*x) = (1/4)*x

      Quindi, x dovrà essere divisibile per 4.
      Per questo motivo, x dovrà essere pari e quindi il primo fante ad entrare dovrà essere quello di Cuori.
      Affinchè x sia divisibile per 4, il Fante di Cuori potrà mangiare:

      – 1 moco (non so quale sia il singolare :-D) -> x=12, y=3 Impossibile perché il fante di Quadri (che è l’ultimo) prende un numero pari di mochi
      – 9 mochi -> x=4, y=1 Impossibile perché il fante di Quadri (che è l’ultimo) prende un numero pari di mochi
      – 5 mochi -> x=8, y=2
      Quindi, avremo la soluzione:
      1) Cuori: 5 mochi
      2) Fiori: 2 mochi
      3) Picche: 4 mochi
      4) Quadri: 2 mochi

  5. Bisogna capire, o interpretare, la differenza fra: -non so chi ha il numero più grande- e- non lo so ancora-. Io lo interpreto così: se una ha il numero 5, è certamente una che ha il numero più grande, ma non sa se è la sola. La seconda e la terza dicono che non lo sanno ancora e quindi hanno il numero 5. La conclusione è: 2 5 5.

    1. Buonasera. Però, se così fosse, la terza, avendo il 5 ed avendo ascoltato la risposta della seconda (“Non lo so ancora”), saprebbe che anche la seconda ha il 5, per cui potrebbe fornire la soluzione. Al contrario, ciò non avviene.

  6. Problema 2. Il fante di cuori, che è entrato per primo e ne ha rubati cinque. Poi, nell’ordine, sono entrati il fante di fiori, quello di picche e per ultimo quello di quadri.

  7. 2. Il Fante di ❤ ne ruba 5 (dispari), il Fante di 💐 entra 2° e si prende 1/4 dei dolci (13-5=8×1/4) cioè 2, poi entra il Fante di ♤ e si prende 2/3 del resto (13-7=6×2/3)=4 , quindi entra il Fante di 🍀 che prende 2 ( numero 😁 pari). Quello che ruba di + è il Fante di ❤

  8. Se qualcuna avesse avuto il 5 o il 6 qyalcuna avrebbe risposto di avere il numero piú grande, quindi tutte hanno il 4.

  9. 1. Buongiorno. Sakura e Yui hanno il numero più grande (5). Akari ha il 2.
    Dalla prima affermazione, possiamo dedurre che Akari ha un numero compreso tra 1 e 5 (estremi inclusi).
    Dalla seconda affermazione, deduciamo che Sakura ha un numero compreso tra 2 e 5 (estremi inclusi).
    Dalla terza affermazione deduciamo che Yui ha un numero compreso tra 3 e 5 (estremi inclusi). Inoltre, Akari non può avere 1.
    A questo punto, rimangono solo le seguenti combinazioni possibili:
    2-5-5
    3-4-5
    4-4-4
    Akari afferma di sapere chi ha il numero più grande.
    Se Akari avesse il 3, non saprebbe come sono distribuiti il 4 ed il 5 (rispettivamente a SAKARI e YUI o viceversa).
    Se Akari avesse il 4, non conoscerebbe la combinazione corretta (4-4-4 oppure 3-4-5), per cui non potrebbe sapere chi ha il numero più grande.
    Se Akari avesse il 5, non saprebbe se ad avere il numero più grande è solo lei (in caso di 3-4-5) oppure lei ed un’altra amica (in caso di 2-5-5).
    Per cui l’unica possibilità è che Akari abbia il 2 e la combinazione è 2-5-5

  10. Se Akari avesse 6, come da tua conclusione, saprebbe dall’inizio di avere il numero più grande e quindi non potrebbe pronunciare “Non so chi abbia il numero più grande”, perché il totale 12 – il suo numero 6 darebbe 6 che sarebbe la somma dei due numeri di Sakura e Yui e sarebbero inferiori a 6. A domani per la soluzione commentata.

  11. Problema 1. Se Akari avesse avuto il numero 1 o 2, avrebbe saputo che Sakura e Yui avevano entrambe il numero 5 (perché 1 + 5 + 5 = 11 e 2 + 5 + 5 = 12). Ma Akari dice di non sapere chi abbia il numero più grande, quindi possiamo dedurre che il suo numero non può essere né 1 né 2.
    Allo stesso modo, se Sakura avesse avuto il numero 1, avrebbe saputo che Akari e Yui avevano entrambe il numero 5 (perché 1 + 5 + 5 = 11). Ma anche Sakura dice di non sapere chi abbia il numero più grande, quindi possiamo dedurre che il suo numero non può essere 1. A questo punto, Akari sa che né lei né Sakura hanno il numero 1, quindi l’unica possibilità rimasta è che lei abbia il numero più grande 6 e che Sakura e Yui abbiano entrambe il numero 3 (perché 6 + 3 + 3 = 12). Ecco perché Akari dice di sapere chi ha il numero più grande.

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