10. Soluzioni del 13 settembre 2021 – Gli enigmi colorati di Catriona

Le soluzioni del 13 settembre 2021 a cura di Fabio Ciuffoli 

Nella prima mattinata di ieri abbiamo proposto tre problemi e ora presentiamo le soluzioni. 

Gli enigmi colorati di Catriona – soluzioni 

1. Spicchi arancioni. Se il raggio di ogni semicerchio è 5 cm, qual è l’area ombreggiata in giallo totale?

 

1. SOLUZIONE. Se riorganizziamo l’immagine e l’ombreggiatura, come proposto in figura, i quattro triangoli ombreggiati formeranno il quadrato che ha come lato il diametro di ogni semicerchio, 10 cm. Quindi l’area totale è 100 cm2.

 

2. Doppia spirale. Dieci punti, equidistanti 4 cm l’uno dall’altro, sono uniti da semicerchi e formano la seguente spirale. È maggiore l’area rossa o arancione? E di quanto?

2. SOLUZIONE. Area rossa maggiore di 4π cm2. L’intuizione qui è immaginare di tagliare la spirale lungo la linea blu e spostare il lato destro verso l’alto di 4 cm.

Avremo così sezioni corrispondenti, su entrambi i lati della linea blu, tranne al centro dove c’è un piccolo cerchio di raggio 2 cm, disegnato in nero e giallo, con area rossa. Abbiamo quindi più rosso che arancione, esattamente di 22π = 4π cm2.

 

3. La ciambella rosa. I quattro punti, sulle due circonferenze, sono equidistanti di 2 cm. Qual è l’area ombreggiata?

3. SOLUZIONE. 8π cm2.Il problema non specifica la posizione dei punti sulle circonferenze. Supponiamo che non sia rilevante e quindi spostiamoli in un punto conveniente, come il diametro.

 

Diviene evidente che l’area ombreggiata è la differenza tra un cerchio di raggio 3 e un cerchio di raggio 1, che è π32 – π12= 8π cm2.

Tuttavia, possiamo anche usare il teorema di Pitagora per mostrare che non importa dove sia la linea. Se la linea non passa per il centro, crea due triangoli ad angolo retto come di seguito.

  • a2 = x2 + 32
  • b2 = x2 + 12
  • Sottraendo la seconda equazione dalla prima e otteniamo:
  • a2 – b2 =  x2 + 32 – (x2 + 12) = 8
  • Poiché a è anche il raggio del cerchio grande e b il raggio di quello piccolo, l’area ombreggiata è πa2 – πb2  = π (a2 – b2) = 8π.

Un ulteriore metodo per la soluzione è l’utilizzo del teorema delle corde, illustrato da Daniele nel suo primo commento. 


A lunedì prossimo.

Una risposta

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