Calcolando S = 13 + 7 + 4 + 3 + 12 + 16 + 6 + 5 + 11 = 77
L = 7 + 3 + 16 + 4 – 4 = 26. (4 viene aggiunto e sottratto perché non fa parte del perimetro adiacente)
Infine P = 77 – 2 • 26 = 25.
2. Otto. Inserire le cifre da 1 a 8 nei cerchi in modo che nessuna cifra sia collegata a una cifra adiacente (ad esempio, il 3 non può essere collegato al 2 o al 4).
2. SOLUZIONE. Ci sono diverse soluzioni possibili. La prima considerazione è che i cerchi centrali sono collegati a tutti gli altri tranne uno, ciò significa che lì devono essere collocate le cifre estreme 1 e 8. Infatti se nei cerchi centrali collocassimo ad esempio 2, allora sarebbe obbligatoriamente collegato a 1 o 3, ma ciò non sarebbe possibile. Questa prima osservazione vincola le opzioni possibili e si arriva rapidamente alla soluzione completa. Tutte le soluzioni sono simmetricamente equivalenti a quella proposta nell’immagine.
3. Perimetro. Supponendo che tutti gli angoli siano retti, qual è il perimetro?
3. SOLUZIONE.
In verticale: a + b + c = 9.
In orizzontale: 5 – x + 7 = y che diviene x + y = 12.
Il perimetro è quindi 9 + a + b + c + 5 + 7 + x + y = 9 + 9 + 5 + 7 + 12 = 42.
4. Tennis. Steffi e Boris stanno giocando a tennis e il loro punteggio attuale è di 40 pari. Se Steffi ha una probabilità di 0,6 di vincere un punto, mentre Boris ha una probabilità di 0,4, qual è la probabilità complessiva che Steffi si aggiudichi due vantaggi consecutivi e vinca il game?
4. SOLUZIONE. Dalla condizione di parità 40 a 40 (deuce) possono succedere tre casi: Steffi vince due punti e si aggiudica il game; Boris vince due punti e si aggiudica il game; i due si dividono i punti e tornano di nuovo alla parità. L’intuizione fondamentale è che la probabilità di vincere dal secondo pareggio è la stessa di quella dal primo, il che significa che non è necessario considerare le serie infinite. Sia P la probabilità che Steffi vinca partendo dal pareggio, allora
P = (probabilità che Steffi vinca i successivi 2 punti) + [(probabilità di dividersi i punti) x P] = (3/5)² + [(3/5)(2/5) + (2/5)(3/5)] x P = 9/25 + (12/25) x P (13/25) P = 9/25. Quindi P = 9/13.
5. Il lungomare. Il lungomare di Rimini è un esempio virtuoso di riqualificazione urbana e waterfront. Il percorso alterna aree verdi, piste ciclabili e pedonali, spazi per spettacoli, relax, sport e giochi. La pavimentazione è formata da una trama di esagoni regolari di lato 12 cm, con piastrelle di diverse tonalità di azzurro con il logoRIMINI, come in figura. Ecco il gioco.
Un mago lascia cadere a caso sulla pavimentazione una moneta di plastica perfettamente rotonda di raggio 2,5 cm e invita a scommettere se la moneta si fermerà sui lati degli esagoni oppure si fermerà completamente all’interno, senza toccarne i lati.
Qual è la probabilità che la moneta copra almeno un lato degli esagoni? E quale raggio dovrebbe avere la moneta affinché tale probabilità sia del 50%?
5. SOLUZIONE. Occorre calcolare la probabilità che il centro della moneta si fermi sull’area dell’esagono concentrico piccolo, in scuro nella figura, rispetto all’area del esagono grande e poi l’evento complementare. 
Calcoliamo le aree dei rispettivi esagoni, utilizzando numeri fissi e costanti d’area, poi le mattiamo a rapporto.
Area esagono grande = L2 • 2,598 = 122 • 2,598 = 374,112 cm2.
Apotema esagono grande = 12 • 0,866 = 10,392 cm.
Apotema esagono piccolo = 10,392 – 2,5 = 7,892 cm.
Lato esagono piccolo = 7,893/0,866 = 9,1132 cm.
Area esagono piccolo = 9,11322 • 2,598 = 215,765 cm2.
Area esagono piccolo / Area esagono grande = 215,765 / 374,112 = 0,5767 (probabilità che la moneta si fermi all’interno degli esagoni).
Infine 1 – 0,5767 = 0,4233 è la probabilità che la moneta copra almeno un lato degli esagoni (42,33%) come richiesto dal problema
Ora con le formule inverse ponendo la probabilità = 0,5 e incognito il raggio si ottiene r = 3,04 cm. Quindi affinché la probabilità sia del 50%, il raggio della moneta dovrebbe essere di circa 3 cm.
I Giochi del Lunedì di Prisma tornano tra due settimane.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
