181. Soluzioni del 27 luglio 2026 – Matematica ricreativa dal Giappone

Matematica ricreativa dal Giappone – soluzioni 

1. Abbiamo due triangoli rettangoli isosceli A e B di cartoncino di dimensioni diverse. I due triangoli possono sovrapporsi e non sono ammessi segni di alcun tipo. È possibile individuare il punto medio dell’ipotenusa del triangolo minore?

1. SOLUZIONE. Indicando con A e B i triangoli in ordine decrescente di grandezza e sovrapponiamo A a B, come mostrato in figura, con un cateto di A coincidente con l’ipotenusa d B e l’atro cateto di A che passa sul vertice dell’angolo retto di B. In questo modo il vertice dell’angolo retto di A coincide con il punto medio dell’ipotenusa di B.

2. SOLUZIONE. Indicando con A, B e C i triangoli in ordine decrescente di grandezza e poniamo i triangoli come mostrato in figura sulla sinistra. Ora spostiamo C come mostrato nella figura in mezzo. Infine muoviamo B nella posizione mostrata a destra e così il vertice dell’angolo retto di B coincide con il punto medio dell’ipotenusa di C.

3. Un agricoltore possiede un campo quadrato BDFH di 4 km di lato, come mostrato nel disegno, dove A, C, E e G sono i rispettivi punti medi di HB, BD, DF e FH mentre i punti I e J sono rispettivamente i punti medi di HA e AB. La fattoria si trova nel punto H. A sud della fattoria c’è un fiume con la riva a 1 chilometro di distanza. L’agricoltore può camminare ovunque sul terreno.

3.1. Un agricoltore ha sette pali che desidera piantare sul terreno nei rispettivi punti A, B, C, D, E, F, e G. I pali si trovano nella fattoria in H insieme al martello necessario per l’operazione. L’agricoltore può trasportare al massimo tre pali alla volta o due pali più il martello. Partendo dalla fattoria e riportando indietro il martello, può l’agricoltore completare l’operazione camminando al massimo per 32 km?

3.1. SOLUZIONE. Al primo viaggio, l’agricoltore porta il martello e due pali e li pianta rispettivamente in G e F. La distanza percorsa è HG + GF + FH = 8. Nel secondo viaggio porta il martello e due pali dirigendosi direttamente e piantandoli in E, poi in D e di seguito va in C dove lascia il martello prima di tornare alla fattoria. La distanza percorsa è HE + ED + DC + CH = 4 + 4√5. Nel terzo e ultimo viaggio, l’agricoltore porta i rimanenti tre pali in C e dopo aver piantato un palo in C, porta il martello e i due pali piantandoli in B e in A. Infine torna in H con il martello. La distanza percorsa è HC + CB + BA + AH = 6 + 2√5. Infine la distanza totale è  8 + 4 + 4√5 + 6 + 2√5 = 18 + 6√5 = circa 31,4 km.

3.2. C’è un barile vuoto in ciascuno dei punti H, I, A, J e B. I cinque barili sono identici l’agricoltore deve riempirli con l’acqua del fiume per irrigare il campo. Egli può trasportare solo un barile alla volta, vuoto o pieno, partendo da qualsiasi punto e arrivando a qualsiasi punto. Ogni barile pieno può essere collocato liberamente, quindi senza seguire alcun ordine, nei punti H, I, A, J e B. L’agricoltore può completare questo compito camminando al massimo per 13 km?

3.2. SOLUZIONE. Indichiamo con P, Q, R, e S le proiezioni sulla riva del fiume dal rispettivo punto medio di HI, AJ, AB e JB come illustrato in figura (non in scala). L’agricoltore parte con il barile vuoto da I, lo riempie in P e lo porta in H. Poi prende il barile vuoto in H e lo riempie in P e lo porta in I. Ora va in A e prende il barile vuoto e lo riempie in Q e lo porta in J, dove prende il barile vuoto e lo riempie in S portandolo poi in B. Infine prende il barile vuoto in B e lo riempie in R portandolo in A. Applicando più volte Pitagora si calcola la distanza totale percorsa che è 4√5 + 2√2 + 1 = 12,8 km.

I Giochi del Lunedì di Prisma tornano tra due settimane.