183. Giochi del 24 agosto 2026 – Sfida di matematica a squadre

12 risposte

1. Una soluzione alternativa, decisamente più semplice e intuitiva, basata su osservazioni puramente geometriche confrontando raggi di circonferenze all’interno di triangoli simili.
   In un triangolo equilatero, è un fatto noto e molto semplice che il raggio circoscritto è esattamente il doppio del raggio inscritto: m = 2*r.
   Il triangolo più grande e quello più piccolo sono simili (entrambi equilateri). Come afferma il problema, il lato del triangolo più piccolo è la metà del lato del triangolo più grande (l = L/2). Tutte le misure lineari corrispondenti avranno lo stesso rapporto. Quindi, anche il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo piccolo (m) è la metà del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo grande: R = 2*m. Dunque otteniamo la relazione diretta tra i raggi dei due cerchi del problema: R = 2*(2*r) = 4*r. Il raggio del cerchio grande è 4 volte il raggio del cerchio piccolo. L’area di un cerchio è proporzionale al quadrato del suo raggio (Area = pi*r^2). Perciò il rapporto tra l’area del cerchio più grande e l’area del cerchio più piccolo è il quadrato del rapporto tra i loro raggi: (R/r)^2 = 4^2 = 16.
   Questa soluzione alternativa si basa su due concetti elementari e facili da ricordare: in un triangolo equilatero, raggio circoscritto = 2 * raggio inscritto; tra figure simili, il rapporto tra le aree è il quadrato del rapporto tra le lunghezze corrispondenti (in questo caso, i raggi).

   

2. P1. Possiamo anche usare le proprietà della circonferenza di raggio r inscritta nel triangolo rettangolo.
   Poiché “Ogni quadrato ha il perimetro in centimetri uguale alla sua area in centimetri quadrati” se q è il lato di un quadratino dev’essere q^2=4q, escludendo q=0 è q=4. Allo stesso modo il triangolo rettangolo ha il perimetro in centimetri uguale alla sua area in centimetri quadrati. Sappiamo che in qualsiasi triangolo l’Area (T) è uguale al prodotto tra il semiperimetro (p) e il raggio (r) della circonferenza inscritta: T = p*r, e quindi p*r = 2*p, da cui r=2 cm. Ricordo una regoletta elementare, specifica dei triangoli rettangoli, che lega i due cateti, l’ipotenusa (i) e il raggio inscritto: r = {cateto_1 + cateto_2 – ipotenusa}/2 in base alla quale possiamo scrivere, conoscendo r, che 2 = {h + 12 – ipotenusa}/2 indicando con h l’elevazione del cateto incognito. Ne ricaviamo un’espressione comodissima per l’ipotenusa: ipotenusa = h + 8. Inseriamo questa informazione nel teorema di Pitagora: h^2 + 12^2 = (h + 8)^2. Sviluppando il quadrato del binomio: h^2 + 144 = h^2 + 16*h + 64. I termini al quadrato si elidono lasciando l’equazione di primo grado: 16*h = 80 che dà h = 5. Quindi, senza aver dovuto isolare radici e risolvere equazioni di secondo grado, arriviamo al perimetro trapezio: 12 + 4 + 13 + 5+4 = 38 cm.

   1. Ottimo Sergio grz. Molto chiaro anche il tuo disegno.

      

3. see attachments

   

4. N. 2. Se chiamiamo a il lato del triangolo grande, il raggio del cerchio grande è R = a.rad(3)/3 e il lato del triangolo piccolo è a/2 e il raggio r = a.rad(3)/12 per cui il rapporto delle aree risulta 16.

5. 1. Vedi immagine

   

6. Problema 1. I quadrati devono avere lato 4, in fatti se a è il lato del quadrato si ha a²=4a che ha come soluzioni 0 e 4 (ma penso che, anche se non specificato, il problema chieda poligoi non degeneri).
   Il triangolo ha quindi un cateto pari a 12 (che fa già sospettare che gli altri lati siano 5 e 13); chiamando b l’altro cateto si ha:
   12b/2 = 12+b+√(12²+b²)
   5b-12 = √(12²+b²)
   25b²+12²-120b = 12²+b²
   24b² = 120b
   che ha come soluzioni 0 (che escluderei per gli stessi motivi di prima) e 5.
   Perimetro = 12+4+5+13+4 = 38.

7. 1. vedi immagine allegata

   

8. P2. La relazione tra i triangoli, sia L il lato del triangolo equilatero più grande. Il triangolo più piccolo, formato unendo i punti medi dei lati del triangolo maggiore, è anch’esso equilatero e il suo lato misura esattamente la metà: l = L/2.
   I raggi delle due circonferenze, sia R il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo equilatero di lato L corrispondente ai 2/3 della sua altezza. Quindi il raggio del cerchio maggiore è R = L/sqrt{3}.
   Il raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero (in questo caso di lato l) corrisponde a 1/3 della sua altezza. Quindi il raggio del cerchio minore è r = l/(2*sqrt{3}). Sostituendo l = L/2 nell’ultima espressione, si ha il raggio in funzione del lato del triangolo di partenza: r = L/(4*sqrt{3}).
   Confrontando le due espressioni, possiamo notare che il raggio del cerchio grande è esattamente quattro volte il raggio del cerchio piccolo: R = 4r.
   Poiché l’area di un cerchio si calcola con A = pi*r^2, il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto tra i rispettivi raggi:
   Area_{grande}/Area_{piccola} = (R/r)^2 = 4^2 = 16.
   Il cerchio più grande ha un’area 16 volte quella del cerchio più piccolo.

9. P1. Il lato dei quadrati
   Sappiamo che per ogni quadrato il perimetro è uguale all’area.
   Se chiamiamo s il lato del quadrato, abbiamo 4s = s^2
   Poiché la lunghezza del lato deve essere strettamente positiva, possiamo dividere per s e ottenere s = 4. Ogni quadrato ha quindi il lato di 4 cm.
   Le dimensioni del triangolo rettangolo
   Osservando la figura, la base del triangolo rettangolo poggia esattamente sui lati superiori dei tre quadrati allineati.
   La sua base misura quindi 3*4 = 12 cm.
   Chiamiamo h l’altezza del triangolo (il cateto verticale). Anche per questa figura, perimetro e area coincidono. L’area è A = 12*h/2 = 6*h
   Il perimetro, applicando il teorema di Pitagora per trovare l’ipotenusa, risulta
   P = 12 + h + sqrt{12^2 + h^2}
   Eguagliando perimetro e area impostiamo l’equazione:
   12 + h + sqrt{144 + h^2} = 6*h
   Isoliamo la radice: sqrt{144 + h^2} = 5h – 12
   Eleviamo al quadrato entrambi i membri: 144 + h^2 = 25*h^2 – 120*h + 144
   Semplificando otteniamo: 24*h^2 – 120*h = 0
   Dividendo per 24*h (poiché h > 0), ricaviamo h = 5. Il triangolo ha quindi i cateti di 12 cm e 5 cm, con un’ipotenusa che misura sqrt{12^2 + 5^2} = 13 cm.
   Il perimetro del trapezio
   Il trapezio rettangolo complessivo è delimitato dal perimetro esterno della figura ed è composto da
   • Base inferiore orizzontale: i tre lati inferiori dei quadrati, pari a 12 cm.
   • Lato sinistro verticale: il lato esterno del primo quadrato, pari a 4 cm.
   • Lato destro verticale: il lato esterno del terzo quadrato sommato al cateto verticale del triangolo, per un totale di 4 + 5 = 9 cm.
   • Lato obliquo superiore: l’ipotenusa del triangolo, pari a 13 cm.
   Il perimetro totale del trapezio si ottiene sommando questi lati: 12 + 4 + 9 + 13 = 38 cm.

   1. Ottimo Sergio, sempre puntuale e preciso. Grz

      1. Grazie a te Fabio, come sempre quesiti ottimamente scelti.
         Alla prossima!